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1.타원곡선의 판별식을 복소함수로 보면 weight 12의 보형형식으로 나온다.


2.이 보형형식을 푸리에 전개했을때 나오는 계수가 만족하는 특정 부등식이 ramanujan-petersson추측이다.


3.근데 판별식이 방정식의 해에 대한 판별식을 나타내는 것인데 어느 특정 체에서 해가 존재하느냐의 여부이다.


4.따라서 이 판별식은 체의 확대, 즉 갈루아 이론이랑 연결되는게 당연하다.(그래서 타원곡선, 갈루아 표현론, 보형형식간의 대응을 연구하는것이 당연하고 이것이 페르마의 마지막 정리를 이끌어낸 것이다. 이걸 shimura variety나 abelian variety에서의 문제로 확대시킨것이 랑글란즈 대응성 문제이다)


5.타원곡선이 특정 대수방정식의 정수해 문제를 연구하기 위해 도입된거라하면 특히 소수와 관련한 특정 성질들이 드러나는 바가 있다면 소수와 관련한 정보인 유한체에서 문제를 보는것이 좋고, ramanujan-petersson추측도 소수쪽 계수에 대한 것이므로 연계를 시켜보는 것이 좋다. 그렇다면 유한체상의 algebraic variety로 논의가 귀결될 것이다.


6.이 유한체의 확대를 생각해볼때, 각 확대에서 해가 얼마나 존재하느냐라는 질문을 던질 수 있다. 그래야 정수해 문제에 최대한 접근할 수 있을 것이다. 특정한 유한체 k을 잡고(어떤 소수 p에 대해 p^e꼴의 characteristic을 가지는 체) 이 유한체의 확대들을 생각한다. 생각이상으로 확대체가 얼마나 있는지를 연구하는건 단순한 문제가 전혀 아니다. [k_n:k]=n이라 하면 algebraic variety X가 k_n에서 몇개의 영점을(여기에선 다 정수) 가질까를 연구하는게 당연한 귀결이고 그렇다면 그 숫자를 N_n이라 하면 각 n단계에서의 이러한 숫자를 구하는게 핵심이다. 이것을 하기 위해 생성함수 N_1t+N_2t^2/2+N_3t^3/3+....=G(t)을 만든다.


7.그렇다면 타원곡선의 경우 G(t)와 보형형식이 어떤 관련이 있을거라 보는것이 당연하다. 그런데 판별식이 보형형식임을 보이려면 무한곱을 다루어야하기때문에 G(t)에 exp을 씌워서 새로운 함수 Z(X,t)=exp(G(t))을 정의하는것이 자연스럽다. 이것이 algebraic variety X의 제타함수이다. 근데 이걸 제타함수라 하는 이유가 정수환 Z위에서 생각하면 일반적인 리만제타함수꼴이 도출되기 때문이다.


8.이 제타함수가 어떤 성질을 지닐지 보는것이 이제 자연스러운 연구의 방향이다. 특히 보형형식의 식이랑 비슷한 성질을 만족해야 한다. 그리고 여기에서의 리만가설이 성립할지 보는것도 당연하다. 이러한 것들을 다 정리한 것이 바로 weil conjecture이다.


9.이제 이걸 어찌 접근할 것인가? G(t)에서 각 N_n들을 구할때 미분을 쓴다. 그러면 여기에서 미분이라는 개념을 어찌 써먹어야 하는데 이 미분과 기하학을 연결시키는 성질을 가진건? 바로 코호몰로지이다! 그렇기때문에 결국 X위에서 코호몰로지 이론을 구성해야 한다. 그렇다면 이걸 구성하려면 코호몰로지의 역사를 또 살펴야 하고 X가 algebraic variety라서 기하학적으로 differentiable manifold나 CW complex보다 좀 어려운 구조이다. 하지만 X상에도 topology(zariski topology같은)을 정의할 수 있기때문에 극복가능하고 이것은 X상에 정의된 sheaf와 covering을 써서 cech의 코호몰로지이론을 그대로 옮겨갈 수 있다. 다만 여기에서 covering(X상에서 simplex와 같은 역할을 할만한 개념)을 어찌 정의하느냐에 따라 여러가지 코호몰로지가 나올 수 있는데 zariski topology에 기반하여서는 좋은 코호몰로지가 나오지 않는다. 그래서 대신에 복소해석학 및 복소다양체적인 직관을 혼합시킴으로서(애시당초 보형형식이 복소해석학적인 구조를 가지고 있으니-등각적 구조같은) etale topology을 도입하여서(grothendieck topology의 관점에서 covering과 sheaf을 연동시킬 성질을 만족시키는 집합들을 새로 정의한다 여기에서 etale topology을 도출해낸다) etale cohomology을 얻어내고 이것으로 저 엄청난 추측을 풀 수 있다! 이것이 deligne와 grothendieck의 아이디어이다!