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하드비거-넬손의 문제지난 4월, 생물학자 오브리 드 그레이(Aubrey de Grey)가 60년 된 수학의 미해결 문제에 중요한 진척을 이루는 발견을 하여 화제가 되었다. 앞에서 '생물학자'는 '수학자'를 잘못 쓴 것이 아니다. 드 그레이는 인간이 늙지 않는 방법을 알아내었다며 인간이 1000살을 넘게 살 수 있다고 주장하는 괴짜 생물학자이다.

그의 본업은 생물학자이니, 그의 수학적 발견은 아마추어가 이룬 놀라운 성취라 할 만하다.드 그레이가 발견한 것은 수학의 조합론(combinatorics) 분야에서 '하드비거-넬손의 문제(Hadwiger-Nelson problem)'로 불리는 난제의 한 단계를 해결한 것이다.

이 문제는 유명한 4색 문제처럼, 점과 선분으로 이루어진 도형인 그래프(graph)를 색칠하는 문제이다. 평면 위에 세 점이 서로 거리 1만큼 떨어져 있다고 하자. 그러면 이 세 점은 정삼각형 모양을 이룰 것이다.

이 세 점을 연결한 다음, 연결된 점은 서로 다른 색을 칠한다면 꼭 세 개의 색이 필요하다.평면 위에 네 점이 한 변의 길이가 1인 정사각형 모양으로 놓여 있다면 어떨까?

이 경우는 두 개의 색이면 충분하다. 이제 더 일반적인 상황을 생각해 보자. 평면에 아주 많은 점이 놓여 있고, 그 점들 가운데 거리가 1인 점들을 모두 연결하였다고 하자.

연결된 점은 서로 다른 색을 칠한다면 몇 개의 색이 필요할까? 당연히 점이 놓여 있는 방법에 따라 다를 텐데, '점들이 어떻게 놓여 있더라도 006E.png?rev=2.5.3개의 색이면 충분하다.'라는 명제가 참이 되게 하는 최소의 006E.png?rev=2.5.3을 구하는 것은 어떨까?

이것이 바로 수학자 후고 하드비거(Hugo Hadwiger)와 에르바르트 넬손(Edward Nelson)이 1950년에 제기한 문제였다.이 문제의 답이 7을 넘지 못한다는 것은 금방 발견되었다. 그러니까 7색이면 충분하다는 것은 분명하였다.

그러나 더 적은 개수로는 안 될까? 이 문제의 답이 4보다 작지 않다는 것은 수학자 레오 모저(Leo Moser)가 발견하여 '모저의 방추(Moser's spindle)'로 불리는 다음 그래프를 관찰하면 분명하다.

이 그래프는 7개의 점으로 이루어져 있고, 이 가운데 11쌍의 거리가 같다. 즉, 이 그래프는 7개의 점과 11개의 선분으로 이루어져 있다그러나 그 이후로 아무런 진전이 없었다. 7에서 내려오지도, 4에서 올라가지도 못하였다. 그러다가 드 그레이가 4개의 색으로는 충분하지 않은 점의 배치를 발견하여 이 문제의 작은 쪽 한계를 하나 올린 것이다.

따라서 하드비거-넬손의 문제의 답은 5, 6, 7 가운데 하나이다.드 그레이의 해법은 모저의 방추 여러 개를 배열하는 방식으로, 그가 만든 그래프는 자그차미 1581개의 점으로 이루어진 거대한 그래프였다. 이후 여러 수학자들이 드 그레이의 그래프를 개량하여, 현재 가장 작은 그래프는 553개의 점으로 이루어져 있다.

앞으로 외국생물학자 >>  좆센수학자니까 그런줄 알아라