Probabilistic techniques in analysis (F.Bass 저자) 312쪽에 있음.
123(67.170)2018-07-30 14:38:00
확률론과 복소해석학이 사실 큰 연관성을 가짐. 왜냐면 harmonic function f가 주어질때 f(Brownian motion)이 martingale이 되기 때문임. 이는 실제로 동치임.
123(67.170)2018-07-30 14:39:00
analytic function f 이 있을때 real part / imaginary part가 둘다 harmonic function이기 때문에 f(Brownian motion)의 real part / imaginary part 모두 martingale이 됨.
123(67.170)2018-07-30 14:40:00
우리가 궁금한건 f(brownian motion in the complex plane)인데 이를 알기 위해서는 f(brownian motion in the complex plane)의 real part / imaginary part의 joint distribution를 알아야 함.
123(67.170)2018-07-30 14:40:00
그런데 f가 analytic이라서 cauchy-riemann equation을 쓰면 real part / imaginary part의 quadratic variation을 조사할 수 있음. 이를 이용하면, 적절한 random time change에 대해 f(brownian motion in the complex plane) 가 역시 2-dim brownian motion임을 알수 있음
123(67.170)2018-07-30 14:42:00
그런데 2-dim browinain motion의 성질이 널리 알려져있음. 가장 중요한것은 recurrence property임. 이는 3차원 이상의 브라운모션과 큰 차이인데 왜냐하면 3차원 이상에서는 recurrence가 아니라 transient이기 때문 (brownian motion goes to infinity as time goes to infinity)
123(67.170)2018-07-30 14:44:00
내가 말한 이 1,2차원 / 3차원이상 브라운운동 차이는 potential theory가 저차원 / 고차원일때 왜 달라지는지 이유를 설명해주기도 하지. Laplacian 의 green function을 조사하면 1-dim에서는 heviside function, 2-dim에서는 log x, 3차원 이상에서는 1/x^{d-2}로 나타나지.
123(67.170)2018-07-30 14:45:00
대수학의 기본정리로 돌아오면, 내가 여태까지 언급한 성질들과 귀류법을 이용하면 1줄만에 증명됨.
123(67.170)2018-07-30 14:46:00
확률론을 이용해서 대수학의 기본정리뿐만 아니라 maximum modulus principle / riemann mapping theorem / picard's theorem / hardy space / BMO-H^1 duality (analytic version is proved by Fefferman) / boundary behavior of analytic function 등을 증명할수 있음
123(67.170)2018-07-30 14:49:00
확률론과 complex analysis / harmonic analysis / potential analysis는 이렇게 큰 연관이 있음. 예전에 필즈상을 수상한 SLE 이론 경우에는 conformal geometry와 확률론에 관한 연구라고 볼수 있고 (2-dimension statistical physics / conformal invariance - 엄밀한 증명이 sminorv에 의해 증명되었고, 필즈상 수상), 최근 14년 필즈상 수상자 마틴 헤어러는 regularity structure (이는 최근에 아벨상을 수상한 Meyer의 wavelet theory에서 inspiration을 받아서 KPZ equation 난제를 완벽히 해결함) 이론을 발명하였지.
123(67.170)2018-07-30 14:52:00
마틴 헤어러가 wavelet theory에서 영감을 받은 거라면 Gubinelli는 littlewood-paley 이론에서 영감을 받은거라 볼수 있지. 이 둘 다 rough path theory (terry lyons)와 SPDE의 대가이기도 하고.
123(67.170)2018-07-30 14:53:00
요즘 확률론의 경우에는 진짜 다양하게 분야가 퍼져나가 있음. 1900년대 후반에 한창 핫했던 interacting particle system과 이에 관련된 hydrodynamic limit (stochastic homogenization - 요즘 핫한 분야임. Armstrong이 여기서 잘나가는 사람이고) / large deviation theory 가 정말 활발했었고 (SRS varadhan - 이 분야에서 끝판왕이고 Abel prize 수상자)
123(67.170)2018-07-30 14:55:00
statistical mechanics는 옛날부터 지금까지 되게 활발히 연구되어있고 (log sobolev inequality - hypercontractivity, 이를 일반적인 metric measure space에서 한게 필즈상 수상자 cedric villani와 john lott에 의해 증명됨. otto-villani theorem도 유명하지 log sobolev inequality, poincare inequality, curvature condition, concentrate property, mass transport theory(optimal transport)의 연관성을 조사한거)
123(67.170)2018-07-30 14:57:00
random environment에서의 확률론 성질 연구 (RWRE - random walk in random environment / quenched, annealed large deviation, etc,)도 활발하고, spin glasses and random matrix theory / markov mixing theory and cutoff / stochastic homogenization theory 등등..
123(67.170)2018-07-30 14:59:00
123갑 오랜만에 입갤 ㄷㄷ
익명(110.70)2018-07-30 16:12:00
추천 박아라 123갑 등판하셨다
1234(110.70)2018-07-30 16:14:00
123좌ㄷㄷ 이런거 공부하려면 선수과목 멀 봐야됨?
익명(121.186)2018-07-30 16:16:00
추천박겠습니다
익명(1.226)2018-07-30 16:18:00
123갑;;;;; 휠윈드한번 오지게 돌고 가시네
ㅁㄴㅇ(203.229)2018-07-30 17:46:00
우와...
제비꽃(funder)2018-07-30 17:48:00
확률론에서 C^* algebra 랑 연관지은 주제가 random matrix theory임?
헐 ㄷ
헐 - dc App
구라치네
올려봐 궁금하다
Probabilistic techniques in analysis (F.Bass 저자) 312쪽에 있음.
확률론과 복소해석학이 사실 큰 연관성을 가짐. 왜냐면 harmonic function f가 주어질때 f(Brownian motion)이 martingale이 되기 때문임. 이는 실제로 동치임.
analytic function f 이 있을때 real part / imaginary part가 둘다 harmonic function이기 때문에 f(Brownian motion)의 real part / imaginary part 모두 martingale이 됨.
우리가 궁금한건 f(brownian motion in the complex plane)인데 이를 알기 위해서는 f(brownian motion in the complex plane)의 real part / imaginary part의 joint distribution를 알아야 함.
그런데 f가 analytic이라서 cauchy-riemann equation을 쓰면 real part / imaginary part의 quadratic variation을 조사할 수 있음. 이를 이용하면, 적절한 random time change에 대해 f(brownian motion in the complex plane) 가 역시 2-dim brownian motion임을 알수 있음
그런데 2-dim browinain motion의 성질이 널리 알려져있음. 가장 중요한것은 recurrence property임. 이는 3차원 이상의 브라운모션과 큰 차이인데 왜냐하면 3차원 이상에서는 recurrence가 아니라 transient이기 때문 (brownian motion goes to infinity as time goes to infinity)
내가 말한 이 1,2차원 / 3차원이상 브라운운동 차이는 potential theory가 저차원 / 고차원일때 왜 달라지는지 이유를 설명해주기도 하지. Laplacian 의 green function을 조사하면 1-dim에서는 heviside function, 2-dim에서는 log x, 3차원 이상에서는 1/x^{d-2}로 나타나지.
대수학의 기본정리로 돌아오면, 내가 여태까지 언급한 성질들과 귀류법을 이용하면 1줄만에 증명됨.
확률론을 이용해서 대수학의 기본정리뿐만 아니라 maximum modulus principle / riemann mapping theorem / picard's theorem / hardy space / BMO-H^1 duality (analytic version is proved by Fefferman) / boundary behavior of analytic function 등을 증명할수 있음
확률론과 complex analysis / harmonic analysis / potential analysis는 이렇게 큰 연관이 있음. 예전에 필즈상을 수상한 SLE 이론 경우에는 conformal geometry와 확률론에 관한 연구라고 볼수 있고 (2-dimension statistical physics / conformal invariance - 엄밀한 증명이 sminorv에 의해 증명되었고, 필즈상 수상), 최근 14년 필즈상 수상자 마틴 헤어러는 regularity structure (이는 최근에 아벨상을 수상한 Meyer의 wavelet theory에서 inspiration을 받아서 KPZ equation 난제를 완벽히 해결함) 이론을 발명하였지.
마틴 헤어러가 wavelet theory에서 영감을 받은 거라면 Gubinelli는 littlewood-paley 이론에서 영감을 받은거라 볼수 있지. 이 둘 다 rough path theory (terry lyons)와 SPDE의 대가이기도 하고.
요즘 확률론의 경우에는 진짜 다양하게 분야가 퍼져나가 있음. 1900년대 후반에 한창 핫했던 interacting particle system과 이에 관련된 hydrodynamic limit (stochastic homogenization - 요즘 핫한 분야임. Armstrong이 여기서 잘나가는 사람이고) / large deviation theory 가 정말 활발했었고 (SRS varadhan - 이 분야에서 끝판왕이고 Abel prize 수상자)
statistical mechanics는 옛날부터 지금까지 되게 활발히 연구되어있고 (log sobolev inequality - hypercontractivity, 이를 일반적인 metric measure space에서 한게 필즈상 수상자 cedric villani와 john lott에 의해 증명됨. otto-villani theorem도 유명하지 log sobolev inequality, poincare inequality, curvature condition, concentrate property, mass transport theory(optimal transport)의 연관성을 조사한거)
random environment에서의 확률론 성질 연구 (RWRE - random walk in random environment / quenched, annealed large deviation, etc,)도 활발하고, spin glasses and random matrix theory / markov mixing theory and cutoff / stochastic homogenization theory 등등..
123갑 오랜만에 입갤 ㄷㄷ
추천 박아라 123갑 등판하셨다
123좌ㄷㄷ 이런거 공부하려면 선수과목 멀 봐야됨?
추천박겠습니다
123갑;;;;; 휠윈드한번 오지게 돌고 가시네
우와...
확률론에서 C^* algebra 랑 연관지은 주제가 random matrix theory임?
휠윈드 ㅋㅋㅋㅋㅋ
whirlwind 훨윈드다 수학에 미친놈드랑
휠윈드추 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
흥미롭네 ㅎㅎ
매우좋은글이다 추천 또주고간다