4명의 필즈상 수상자중 Figalli 업적 간략히 씀. Optimal transport의 이론을 발전시키고 이를 이용하여 여러 문제를 해결한 공로로 필즈상을 수여받았음. 실제로 이 외에도 매우 다양한 분야의 문제들을 해결하였으며, 대단한 점은 전혀 다른 분야의 아이디어를 이용하여 풀리지 않은 난제들을 해결하거나 새로운 아이디어를 제공하여 특히 높이 평가를 받음. 업적이 너무 많아서, 번호를 매겨서 따로따로 설명함.


1. 가장먼저 메인 optimal transport

 - transportation theory가 간략히 뭐냐면 cost function과 두 measure가 있을때, 이 두 measure을 연결하는 map들 중에서 cost의 expectation을 최소화시키는 것임. 역사가 매우 깊은 문제이고 Monge, Kantorovich에 의해 초창기 이론이 잡혔음. 이는 nonlinear PDE 이론과도 엄청난 연관이 있는데 왜냐하면 가장 기본적인 quadratic cost에 대해서 저 optimal map을 찾는 것이 곧 Monge-Ampere equation을 공부하는것과 같기 때문. 


그런데 이 방정식은 fully nonlinear PDE로 해의 well-posedness / regularity를 조사하는게 매우 어려움. Luis Caffarelli (nonlinear PDE의 대가)에 의해 많이 연구되어왓음. 여기서 중요한 것은 classical solution이 아닌 Alexandrov sense solution (weak version) 을 조사하는 것임 (classical solution theory는 매우 어려우기 때문 - Hamilton Jacobi equation (fully nonlinear PDE)에서 classical solution 대신에 viscosity solution (weak version) 을 연구하는것처럼. 실제로 이 weak solution은 variational formula로 주어져서 매우 중요한 object). 이 Alexandrov solution은 일반적으로 W^{2.p} (p>1) 에 속하지 않는데, 이 해가 W^{2,1} 에 속하는지는 알려지지 않았음. Alessio Figalli는 해가 W^{2,1}에 속한다는 것을 증명하였고, invention math에 실렸음.


위 문단에서 언급한 것이 optimal transport theory / Monge-Ampere equation의 classical unsolved problem을 해결해서 주목을 받은 것이라면, 또다른 업적은 optimal transport theory를 isoperimetric problem에 기가 막히게 응용을 해서 수학계에 충격을 준 결과임 (역시 invention math 에 실렸음). 특히 anisotropic isoperimetric problem (quantitative)을 연구하는 색다른 시각을 제시하였고 gagliardo nirenberg sobolev inequality 의 stability property와 같은 functional inequality를 연구하엿음.


2. 이제부터는 optimal transport말고 피갈리의 다른 업적에 조사하고자 함. 가장 먼저 Diperna-Lions flow.

- 일단 Diperna-Lions flow가 뭔지 대충 설명하겟음. 일반적으로 ODE는 vector field가 립쉬츠 조건을 만족시킬때 해의 존재성과 유일성이 있으나 립쉬츠 조건이 아니면 well-posed가 깨짐. 1900년대 후반 Diperna / Lions (이 사람은 viscosity theory / fluid mechanics PDE theory로 필즈상을 받았고, 필즈상수상자 세드릭 빌라니 스승이고 세드릭 빌라니는 어제 필즈상받은 피갈리 스승) 는 충격적인 결과를 발표하였는데, 립쉬츠 조건이 아닌 vector field에 대해서도 weak version의 flow를 정의할 수 있다는 것을 주장함(invention math에 실림). 예를 들어서, almost everywhere initial point에 대해 well-posed가 성립한다는 식으로. 이 이론은 매우 중요하게도 fluid mechanics에서 나오는 많은 PDE와 연관이 있음. 피갈리는 이 이론을 응용시켜서 potential이 매우 non-smooth하게 주어진 슈레딩거 방정식의 semiclassical limit (phase space analysis - microlocal analysis)를 조사하였고 (CPAM논문) 최근에는 Vlasov-Poisson equation의 Lagrangian structure을 조사함 (Duke math journal).


3. Weak KAM theory

 - weak KAM theory를 매우 간략하게 말하자면, Hamilton Jacobi equation (PDE viewpoint / cotangent bundle )의 이론과 Lagrangian dynamics (dynamical viewpoint / tangent bundle) 의 연관성을 이용해서 viscosity solution을 연구하는 것임. Hamiltonian이 매우 nice하게 주어지면 (예를 들어서 completely integrable) canonical transform (symplectomorphism)을 이용하여 Hamilton Jacobi equation을 완벽하게 이해할수 있으나 대부분의 경우에는 이게 불가능함. KAM theory(Kolmogorov - Arnold - Moser)는 이 completely integrable system을 perturb시켜도 상당히 많은 Lagrangian foliation이 생존하다는 것임. 좀더 perturb를 시키면 Arnold diffusion같은 복잡한 현상이 나타나고. weak KAM theory는 non-integrable system에서 Aubry set / Mane set / Mather set과 같은 invariant set 과 hamilton-jacobi equation의 viscosity solution 등을 연구하는 것임. 피갈리가 한 것은 generically, Aubry set에서 dynamics가 hyperbolic하다는 것을 보임(invention math). Hyperbolicity 는 dynamical system에서 매우 중요한 성질인데, 예를 들어 stable foliation / unstable foliation을 이용해서 다이나믹스를 분석할수 있고 Kolmogorov-Sinai entropy, Lyapunov exponent, topological entropy, Hausdorff dimension 사이에 밀접한 연관성을 얻을수 있음 (Ruelle's inequality). 하지만 hyperbolicity는 매우 드문 현상이고 (negative curvature manifold는 성립) if and only if condition이 아직까지 알려지지 않았음. 피갈리의 이 업적은 이 면에서 대단하다는 것을 알수 있음.


4. 기타

 - 위에서 언급한것 외에도 정말 다양한 업적이 많음. 나열만 할게. nonlocal tug-of-war and infinity fractional laplacian (JAMS에 실렸던 tug-of-war and infinity laplacian의 충격적인 결과를 nonlocal version으로 일반화시킴. CPAM실렸음) / transportation 테크닉을 이용해서 random matrix의 universality를 증명함 / WKB analysis 등등...


아무튼 대단한 사람이고, 앞으로가 더 기대되는 수학자임.