바쁜 와중에 머리 좀 비우려고 시간낭비 겸하여 약간의 썰을 풀어봅니다.

다만 제가 이 주제 전문가가 아니라 취미로 주워들은 것을 바탕으로 작성하였으므로 실정을 정확히 반영하지 못하거나, 혹은 오류가 있을 수도 있습니다.

그냥 재미로 봐주시고, 곧 진짜 전문가들이 필즈상 업적 강연이나 소개글을 작성할테니 그걸 기다리시면 좋을 것 같습니다. 

일부 내용은 의도적으로 간략하게, 혹은 엄밀하지 않게 작성되었음을 미리 밝힙니다. 따라서 이 글은 조만간 삭제할 수도 있습니다.



우선 Birkar의 업적에 대해 이야기하기에 앞서서 MMP (3차원에서는 사람에 따라 Mori program이라 부르기도 합니다) 에 대해서 내용 없고 엄밀함 없지만 언급은 해야 할 것 같습니다.

일단은 모든 대수다양체는 복소사영다양체라고 생각합시다.


MMP의 목적은 으레 위상수학이나 기하학이 그렇듯 대수다양체를 분류하는 것에 있습니다. 특히 Birational equivalence에 따라 대수다양체를 분류하기를 희망하는데, 이는 open dense subvariety끼리 isomorphic한 것을 뜻하며, 다른 말로는 function field가 isomorphic함을 뜻합니다. Blowup과 같이 isomorphic하지 않지만 birationally equivalent한 surgery가 얼마든지 존재하기 때문에 isomorphism class 대신에 birational equivalence class를 공부합니다.


대수곡선의 경우 : isomorphic과 birational equivalence는 차이가 없습니다. 아무 작업을 할 필요 없습니다.

대수곡면의 경우 : Castelnuovo 정리에 의해, exceptional line 들을 contract해나가면 됩니다.


대수곡면의 경우를 일반화하여, 어떤 대수다양체 X가 minimal이라는 것은 canonical divisor K (= 최고차 holomorphic form이 이루는 line bundle) 가 numerically effective, 즉 어떤 curve C와도 intersection number가 0 이상이 되는 경우로 정의합니다. (엄밀히는 틀린 이야기입니다만 편의상), Mori cone 정리에 의해 K와 intersection하였을 때 negative한 curve (exceptional curve) 는 아주 많지 않습니다. 따라서 이런 나쁜 curve들을 contract 하다보면 더 이상 K와의 intersection number가 음수가 되는 나쁜 curve가 없게 되어 minimal model에 도달할 것입니다. 이 것이 MMP의 키 아이디어라고 할 수 있습니다.


다만 3차원 이상부터는 여러 가지 문제가 발생하는데,

1) curve들을 contract하다보면 대수다양체가 너무 성질이 나쁜 특이점을 갖게 됩니다. 최소한 K가 잘 정의되고 intersection number (K.C)가 정의될 정도는 되어야 하며 현실적으로는 그보다는 더 다루기 쉬운 순한맛 특이점만을 허용하게 됩니다. 특이점을 허용하지 않으면 더 이상 진행이 불가능하기 때문에 특이점을 허용하여야 하고, 어느 정도의 특이점까지 다룰 것이냐에 따라서 이론의 난이도가 급변합니다. 통상적으로 사람들은 log canonical singularity 를 포함하는 이론을 설계하고 싶어하지만 아직까지 잘 되지는 않는 것 같습니다. Kawamata log terminal 이라 불리는 특이점 클래스에 대한 MMP, 혹은 log MMP 연구는 상당히 많이 진행되어 있습니다.

특이점을 허용한다고 치더라도 여전히 curve를 contract하다보면 숨막히는 매운맛 특이점이 나타날 수 있습니다. 이를 교정하는 surgery로 Flip이라는 방법이 있습니다.


2) Minimal model에 도착하였다고 가정하면 이 minimal model이 어떻게 생겼는지 살펴보아야 합니다. 가장 자연스러운 방법은 canonical ring R(K)와 그에 의해 주어지는 canonical model을 살펴보는 것입니다.


MMP의 구동은 따라서, 

(1) Mori cone 정리에서 나타나는 나쁜 curve를 contract한다.

(2-1) contract한 결과물이 꽤 좋은 특이점만을 가지면, 다시 (1)에 집어넣는다.

(2-2) contract한 결과물이 나쁜 특이점을 가지면, Flip을 통해 교정한다.

위 작업을 반복하다보면 언젠가 나쁜 curve가 하나도 없는 대수다양체, 즉 minimal model을 얻는다.


MMP의 궁극적인 목표는,

(a) 매끄러운 대수다양체 X를 집어넣었을 때 minimal model MM(X)에 도달한다.

(b) MM(X)의 canonical model은 K의 (Ricci) curvature에 따라,

Mori fiber space, Calabi-Yau fiber space, 혹은 general type 셋 중 하나에 속한다.



MMP의 난제들은 여러 가지가 있습니다만 중요한 몇 가지만 이야기하자면


Abundance conjecture : (b)의 결론을 얻기 위해서는 Abundance conjecture의 해결이 필요하며, canonical ring R(K)의 finitely generatedness와 관련이 있습니다. General type의 경우 Birkar, Cascini, Hacon, McKernan의 논문을 찾아보세요. 4차원에서는 Kawamata의 결과가 있었던 것 같은데 부분적인 것인지 아닌지 기억이 나지 않습니다. MMP의 난제들 중 가장 중요한 문제로 손꼽힙니다.


Existence of Flips : MMP (2-2)를 위해서는 좋은 Flip이 존재해야 합니다. klt MMP에 대해서는 BCHM 논문에서 Flip의 존재성이 증명된 것으로 기억합니다.


Termination of Flips : MMP의 모든 작업은 유한 번의 프로세스로 종료되어야 합니다. Shokurov 등의 연구를 통해, mld conjecture와 Borisov-Alexeev-Borisov conjecture (= boundedness of singular Fano) 의 이해가 Termination of flips을 내포함이 알려졌습니다. Birkar의 수상 사유는 BAB conjecture의 해결과 BCHM 등에서 나타난 이 분야의 꾸준한 기여입니다. 다만 해당 논문은 아직 출간되지 않았는데, 업계에서는 옳은 증명인 것으로 받아들여졌나봅니다.


그 이외에 위에서 언급했었던 lc log MMP, Calabi-Yau 다양체의 topology에 대한 이해 등등 여러 복잡한 문제들이 남아있습니다. 아마도.


필즈 메달감이 맞는가에 대해서는 조금은 온도차이가 있을 수도 있겠습니다. 같이 메달을 수상한 Scholze는 너무 압도적 넘사벽인데 비교되는건 좀 그렇기도 합니다만... Mori가 Cone theorem과 Flip 문제를 모두 해결하고 3차원 MMP 마침표를 찍으며 필즈상을 수상했던 것에 비하면 4차원 이상의 MMP는 여전히 갈 길이 먼 것으로 느껴지기는 합니다. Hacon이 필즈상 수상에 실패하였을 때 아마도 BCHM과 그 관련 업적으로는 필즈상을 받기 어려울 것 같다, 라고 생각해왔기에 가장 의외의 수상자이기도 했구요. 하지만 분명 모듈라이 등의 다른 연구들에 선행되어야 할 중요한 분야이고, 그에 포함된 핵심적인 난제들에 두 번이나 큰 기여를 한 것은 분명한 사실입니다.


참고로 characteristic이 0이 아니면 Hironaka 특이점 해소 정리같은 것이 없기 때문에 특이점에 대한 이해를 포함한 이론을 설계하기 매우 어렵습니다. 단적으로, 어떤 특이점이 순한지 매운지 구별이 안 됩니다. 3차원에서는 Abhyankar의 결과가 있는 것으로 기억합니다만, MMP 관점에서는 어떤 애들이 문제인지 들어본 기억도 좀처럼 없습니다. 적어도 특이점을 다루고 분류할 수 있게 되는 (log) resolution 의 존재성이 입증되어야 하며, 그 이후에 기존 MMP를 가능한 최대로 옮겨오는 작업이 뒤따라야 하겠지요.


당장 생각나는 유명인들만 해도 Hironaka, Reid, Shokurov, Kawamata, Mori, Kollár, Birkar, Cascini, Hacon, McKernan, Xu 등을 포함, 작정한다면 사람 이름으로만 한 화면을 채울 수 있을 것 같습니다. 굉장히 연구 그룹도 크고 공부하는 사람도 많고 중요한 문제인 것은 확실합니다.