0.23571113171923...으로 이어지는 수는 무리수임?

[익명(61.82)]

당연히 아닐 것 같은데 증명이 쉽진 않을 듯

[1212(222.110)]

멈추거나 반복되면 유리수임

[ㅇㅇㅇㅇ(121.153)]

그게 무슨 수인줄 알고 증명을 해 그건 수가 아니야

[익명(61.82)]

ㄴ그러니까 반복 안 된다는 걸 증명해야지

[ㅇㅇㅇㅇ(121.153)]

... 다음에 뭔지 알고 유리수 무리수를 따지냐

[ㅇㅇㅇㅇ(121.153)]

0.23571113171923 다음 ...에 똑같이 반복되면 유리수지

[익명(61.82)]

2 3 5 7 11 13 17

[ㅇㅇㅇㅇ(121.153)]

그거 뭐 어쩌라고

[1212(222.110)]

지금 보니 소수네

[익명(123.212)]

디리클레의 정리를 쓰면 됨. 예를 들어서 임의의 자연수 t에 대해서 10^t*n + 1 꼴 (n은 자연수) 인 소수가 무한히 많이 있으므로 임의로 긴 0이 0.2357...에 계속 출현하게 되는데, 유리수라면 특정 수의 나열이 반복되어서 출현하므로 이런 일이 발생할수 없음.

[익명(123.212)]

좀 더 자세히 서술하자면, 유리수라면 어떤 0~9 사이의 자연수 패턴 a_1 a_2 ... a_m이 있어서 주어진 수를 10진법으로 소수로 표현했을때 이 패턴이 반복되는데, 일단 a_1 = a_2 = ... = a_m = 0이 되지 않음을 알고 있음. 따라서 이 패턴 내에 연속한 0들 중 가장 긴 길이를 L이라 하면, 0.2357...내에 출현할 수 있는 가장 긴 연속한 0의 길이는 2L 이하가 됨. (e.g. a_k a_{k+1} ... a_m a_1 a_2 ... a_{k-1} 꼴로 양쪽으로 패턴이 붙을 수 있으므로) 한편 디리클레 정리에 의해서 연속한 0의 길이를 임의적으로 키울 수 있으므로 모순.