실수계에서
a,b가 E에 속해 있고 a<c<b 를 만족하는 c가 E의 원소이다 => E는 연결집합이다
이걸 증명하려고 하는데
시작은 E가 연결집합이 아니라고 가정한 후, 비연결집합 정의써서
a는 AnE , b는 BnE에 속하는 열린집합 A,B 잡은 후
a<c<b를 만족하는 적당한 c하나 찾아서 c가 E의 원소가 안되는걸 보여주면 모순되서 증명이 되는데
적당한 c하나를 못잡겠습니다.
c를 S = A n[a,b] 의 상한으로 잡으라고 들었는데 그 이후에 진행이 안됩니다....
능력자분들 도와주십쇼!
pma 2장 마지막 theorem에 증명있었던거로 기억하는데 찾아보셈
아무 A B나 잡으면 안 됨
당연 -증명끝-
a가 AnE에 있다고 하는건 상관 없는데 이 때 b가 BnE에 있다고 할 수는 없음. 사실 필요하지도 않고. c를 AnE의 상한이라고 하면 2가지 가능성이 있는데 1. c가 AnE의 원소일 경우 2. 아닐경우 = BnE의 원소일 경우인데 1의 경우는 열린집합의 정의에 의해 c를 포함하면서 A에 포함되는 반경 e의 열린 구간이 존재하고 e를 충분히 작게잡으면
이 구간은 E에도 포함될거임. 그러면 이 구간은 AnE의 부분집합이면서 c보다 큰 원소가 있으니까 c의 정의에 모순. c가 BnE의 원소일 경우는 불가능한게 c에 접근하는 a의 원소를 생각해보면 역시 불가. 써놓고보니 상한이 존재하지 않을경우/ c가 상한일 경우를 안써놓긴했는데 어렵진 않을거임
아 글에서 하는식으론 [a,b]가 항상 연결집합임을 보인다음에 임의의 a b에 대해서 되니까 E도 마찬가지다 식으로 하는게 빠를려나