강연의 내용이 프리프린트에서 크게 벗어나지 않았으니까 프리프린트를 토대로 정리할게. 혹여나 아티야가 내용을 더 다듬어서 정식 페이퍼로 쓰게 되면 달라질 수도 있어. 하지만 그럴 일은 아마 없을거 같네...




1. 배경



언론에서 열심히 기대감을 대중에게 불어 넣어준 것과 달리, 수학 커뮤니티의 여론은 프리프린트의 유출 전부터도, 강연 전에도, 그리고 강연 후에도 똑같아. "아티야의 증명이 맞을 확률은 아주 낮다/없다". 그 이유는 다음과 같아;


i. 최근 결과와의 연관성 부족. 리만 가설은 예나 지금이나 핫토픽이라, 그 자체와 근연 분야에 대한 연구는 어느 때에나 이루어졌어. 그런 반면, 아티야가 abstract에서, 그리고 preprint에서 인용한 결과들은 아무리 최근거여도 1950년대를 넘지 않지. 수학계에서 근 5-60년간 리만 가설에 대해 얻은 결과가 정작 리만 가설의 증명에 쓸모 없다면 상당히 충격적이지 않겠어?



ii. 최근 아티야의 행보. 아티야는 확실히 위대한 수학자이지만, 최근의 그는 정신적으로 문제가 있음이 공공연한 비밀로 알려져있어. 개인적인 대화에서, 혹은 공식 석상에서 횡설수설을 하였다는 '카더라'도 있고, 또 Feit-Thompson theorem과 nonexistence of complex structure on 6-sphere 논란도 그로 인해 빚어진게 아니냐는 말도 많지. 이를 감안했을 때 많은 사람들은 아티야가 더 이상 수학적으로 큰 의미를 갖는 결과를 낼 것이라고 기대하지 않아. 다만 아티야의 수학계에서의 지위, 혹은 한때 위대했던 수학자에 대한 존중에 의해 공식적인 자리나 이름을 걸은 웹사이트 (블로그, MO) 등등에서는 쉬쉬하는 분위기야.



그러던 중, 누군가가 아티야의 증명 내용을 담은 프리프린트를 유출시켰지. 이는 레딧 /r/math에도 올라왔고.




2. 프리프린트의 오류



우선 밝히자면, 아래 오류들의 대부분은 내가 찾은게 아니라 다른 사람들이 찾았다고 주장한 것을 정리한거야. 솔직히 말해 난 아직 아티야가 두 프리프린트에서 주장한 내용을 완벽히 이해하지 못했어. 그럼에도 불구하고 일단 정리해보도록 할게. (일단 편의상 아티야의 두 프리프린트 중 "The Fine Structure Constant"를 P1, 다른 하나 "The Riemann Hypothesis"를 P2로 지칭할게.)




P1-2.1 우선 아티야는 finite von Neumann algebra는 trace를 갖는다고 주장해. 이건 참이야. 근데 2.1에서 아티야는;


"Any inner automorphism (문맥상 on the von Neumann algebra) gives an isomorphic but different trace."


라고 주장하지. 이건 틀렸어. 이 부분이 Todd map의 정의를 형성하는데 쓰임을 감안하면, 크든 작든 증명의 integrity에 타격은 있겠지.




P1,P2 전반적 일단 아티야의 증명에서 가장 핵심이 되는 부분은 Todd function (P1에서는 Todd map 이라고 지칭)이라는 것에 대해 동의하지 않을 사람은 없 을거야. 우선 Todd function의 정의는 다음과 동치야;


"The Todd function T is defined as a composite of isomorphisms

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where Z(A) is the center of the hyperfinite type II von Neumann factor, and t± is induced by the map sending 2x2 complex matrix to its eigenvalues."


이 부분에서 크게 눈에 띄는 오류는 없지만, 일단 2x2 matrix를 어떻게 eigenvalue로 보내는지 설명이 없어. 그렇다고 natural한 방법이 있냐면 그건 또 아니고...한편 여기서 t±가 정말 well-defined인지 명확하지가 않아. 정확하게 틀렸다고 증명하는건 좀 힘드겠지만, 이 부분이 자명하지 않은데도 설명이 없는게 걸리지.[1] (여담으로, 이런 식의 statement들이 두 프리프린트에 가득 차있어. 정당화하는 증명이 명시되지 않은 hand wavy한정의나, 대체 왜 나온지 모르겠는 concept 등등. 특히 fine structure constant 관련. 이건 페이퍼를 읽어도 애초에 이게 왜 관련이 있다고 생각한건지 모르겠어. 한편 이런 핸드웨이빙은 이전 nonexistence of complex structures on the 6-sphere 논란 때에도 지적받았던거지만... 보다시피 더 심해져서 돌아온듯.)


이 부분이 well-defined 되지 않은 경우 논의 자체가 끝나. Todd function의 정의에 오류가 있어서, 이 위에 쌓아올려진 모든게 의미가 없어지지.


한편 P2에서 아티야는 weakly analytic function을 다음과 같이 정의하는데; (Banach space에서 쓰는거 하고는 다름)


"T is what I will call a weakly analytic function meaning that it is a weak limit of a family of analytic functions. So, on any compact set K in C, T is anal ytic. If K is convex, T is actually a polynomial of some degree k(K). For example a step function is weakly analytic, and for any closed interval K on the line, the degree is 0."


여기서 아티야는 weakly analytic function은 compact set에서 analytic하다고 주장하고, 그 바로 뒤에 step function은 weakly analytic하다고 주장하지. 이는 바로앞의 주장과 모순돼. weakly analytic function의 성질이 P2-3.3을 도출하는데 중요함을 감안하면 이는 상당한 오류라고 봐야지.


한편 weakly analytic function이 compact convex set 위에서는 polynomial이라는 주장도 상당히 문제가 있지. 이건 T가 그냥 polynomial이라는 거니까.




총체적으로 봤을 때, 아티야의 증명은 hyperfinite factor상에 (실제로는 존재할 수 없는) 'mutually isomorphic traces'를 정의하는 것에 의존해. 하지만'mutuall y isomorphic traces'는 (이 경우) trace가 유일하고 linear하기 때문에 정의하지 못하는데, 아티야는 이를 T를 이용해 해결하려 한거야. 하지만 이는 von Neumann algebra의 구조적인 특성이라, 단순 mapping 관련 구조로 이를 우회하는건 불가능 해. 아마 아티야의 Todd function과 그 성질의 정의상 오류는 T가 이를 우회할 수 있도록 무리하게 정의를 해서 생긴 것이라고 추측 돼.




일단 MO 등지에서도 지적된 중요한 오류는 여기까지. 이외에도 속되게 'pulling out of one's ass'한 개념들의 등장이나, 무의미한 증명/정의 (P1-2.1 등등)가 여러군데 있어. 물론 무의미해 보이는게 그냥 내 지식 부족 때문일 수도 있겠지만.



또 이건 리만 가설의 증명의 중추에 영향을 안 미치기는 한데, 아티야가 제기한 fine structure constant의 계산 알고리즘을 최대한 따라서 fsc를 계산한 결과가 실제 값과 크게 차이가 난다는 의견도 있는데, 이건 내가 맞는지 확인하기에는 능력이 부족해.[2]




3. 그 후


강연 영상이 끊긴 후에도 뭔가 내용이 있었나본데, 거기서 다음 몇가지 내용들이 알려졌어;

i. 아티야는 이제 은퇴할 것이다.

ii. 청중이 아티야에게 이 결과가 언제 퍼블리시 될거냐고 물었는데, 아티야는 자신의 페이퍼들이 리젝당할거라고 생각한다 함. ('blames ageism')

iii. 아티야가 주장하기를, 사람들이 새로운 아이디어에 대해 부당하게 부정적이라고 함.

iv. 프리프린트는 ArXiV에서 리젝되었다고 함.

[3][4]




4. 개인적 의견




먼저 중요한 말부터 하자면, 일단 아티야의 증명이 진지하게 맞다고 생각하는 사람은 수학계에서 (적어도 serious communities of mathematics) 한명도 없어. 솔직히 말해 HLF가 아티야의 강연을 허락한 것 자체가 이해가 안돼.


또 검증은 언제 되냐고 묻는 질문이 갤에 많은데, 아카이브에도 리젝 먹었다는거 보면, 아마 검증을 해줄 퍼블리셔는 없을 거 같아. 또 안타깝게도, 아티야의 증명이 와일즈의 첫 증명의 오류와는 달리 총체적인 난국이라 이를 진지하게 게재 목적으로 검토할 곳도 없고. 개인적인 검증 또한 앞서 말한 아티야에 대한 존중 차원에서 이름을 걸고 일어날 것 같지는 않고. 참고로 익명으로 오류를 짚어낸 사람들은 꽤 있고, 곧 더 나올 것 같아.


이제 내 개인적인 생각을 말하자면, 몇번이고 말했듯이 아티야가 위대한 수학자인건 변하지 않아. 수학계에서도 이번 일 때문에 아티야에 대한 기존 평가가 바뀌거나 그러지는 않을테고. 그러니 수갤럼들도 아티야를 "리만 가설을 풀려다 실패한 사람" 보다는 "Atiyah-Singer index theorem같은 멋진 정리를 증명한 사람" 으로 기억해줬으면 바래.






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Michael Atiyah



"Michael Atiyah, a mathematician who was awarded the Fields medal of 1966 for doing joint work with Hirzebruch in K-theory; proving jointly with Singer the index theorem of ellipitic operators on complex manifolds; and working in collaboration with Bott to prove a fixed point theorem related to the Lefschetz formula, now known as the Lefschetz fixed-point theorem."

















아무튼 쓰레기같은 문장력으로 쓰인 글을 여기까지 읽어줘서 고마워.


[1] https://mathoverflow.net/questions/311280/what-is-the-definition-of-the-function-t-used-in-atiyahs-attempted-proof-of-the

[2] https://old.reddit.com/r/math/comments/9ig4ei/atiyahs_computation_of_the_fine_structure/

[3] https://twitter.com/mpoessel/status/1044142689720193024

[4] https://twitter.com/aperiodical/status/1044132699605274624