명제 1+1=2가 있다.


고틀로프 프레게는 1+1=2는 언어적 형식과 독립적으로 필연적 참이라고 했다. 왜 그러냐면 이 명제는 사용되어진거지 언급된 것이 아니기 때문이래.



'1+1=2'가 어떤 구조를 갖는지 생각해보자. 각각 '1'과 '+'와 '='와 '2'로 이루어져있다.



1은 무엇일까? 1은 우리가 하나 있는걸 떠올려야만 존재하는걸까? 그렇지 않지. 1은 이미 존재하는 어떤 존재자를 1로 쓰자고, 그리고 그 존재자로 해석하자고 약속했을 뿐이다. 그니까 1은 그 형이상학적 존재자를 지시한다. 걔가 뭔지는 누구나 대충 알겠지.


해석에 언어적 기반을 요구하는 표현은 바로 '1'이다. '1'은 1을 표시하는 것이 아닌 표현, 모양, 그림 1을 지시하는거야. 그래서 다음과 같은 식은 그다지 수학적이지 않아.



'1' '+' '1' '=' '2'


이건 그냥 모양의 나열일 뿐이지.


이제 그럼 다음 식을 살펴보자.



'1+1=2'



눈치가 있는 사람들은 이미 알겠지만, 이 표현이 참이라고 말하기 위해서는 언어적 기반을 요구해. '1' '2' '+' '=' 이런게 무슨 뜻인지를 정의하는게 요구된다.




하지만 똑똑한 우리 수학갤럼들은 또 의문이 들겠지. 왜 1+1=2가 필연적 참인가?



그래서 형식주의 수학자들은 페아노 공리계라는걸 도입했다. 0은 자연수이고, n이 자연수이면 n+1도 자연수이고... 이런 명제들을 모은 명제집합을 공리집합으로 채택해서 자연수에서의 연산 규칙을 엄밀히 정의한거지.



1+1=2는 프레게식으로는 형이상학적 존재자로서 참이고 형식주의 수학자들 식으로는 공리계에 의해 도출된 참인 명제이다.


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