안녕하세요 현재 휴가나와있는 군인인데.. 실력이 많이 미숙하여 이 고민 때문에 다른일이 손에 안잡히고 혼자 답답스러워 하다가 이렇게 질문을 올리게 되었습니다ㅜㅜ 질문은 본문에 삽입한 이미지 그 자체입니다.
제가 이 질문을 올리게 된 계기는, 어떤 미분 공식이 ('미분의 정의'의 극한 연산을 통해 증명되어서) 알려졌을 때, 그리고 어떤 함수 f(x)가 주어졌을 때, 이 함수를 불연속으로 만들거나 또는 정의역이 아닌 x값의 구간들만 구하고 나서(1), 그 다음 '증명되어져있는 그 미분 공식'을 함수에 그대로 적용하는 연산만 시행하면(도함수의 정의를 이용하며 극한을 통한 연산을 않고)(2), 그러더라도 'f(x)가 미분 불가능한 x값, x의 구간들'을 놓치는 경우가 있어서 이 문제를 어떻게 해결할까 고민중에 있다가 저렇게 질문을 올리게 되었습니다.
(그냥 경험을 쌓은 후, 경험을 통한 직관으로 "아 이 x값에서만큼음 한 번 알려져있는 공식을 적용하는 연산만 하는게 아닌 '도함수의 정의'를 적용해서 우극한과 좌극한을 따지며 미분이 가능한지 가능하지 않은지를 직접 따져봐야 될 필요가 있어보이는구나" 이런식으로 따져야 하는지... 아니면 어떤 상황에 대처할 수 있는 깔끔하고 엄밀한 알고리즘같은게 있는지...)
예 맞는 말씀이십니다 그런데 'lim f(t)-f(x)/t-x = h(x) 가 성립하는 구간' 이라는 것을 찾는 과정 자체가, 주어진 복잡한 함수들에서 '불연속이거나 정의역이 아닌 x구간'을 찾는 건 비교적 쉬운데(유리함수의 경우 분모를 0으로 만들거나, 짝수 근호가 있을 경우 근호안을 음수로 만들거나, 탄젠트 함수일 경우 탄젠트 안을 n파이/2 로 만드는 x값들, 이런 식), 연속이면서도 첨점이라서 미분불가능한 구간을 찾는건 주어진 함수 f(x)의 식만 보고서 찾는게 어려워서 그 점을 좀 여쭤보고 싶습니다.
1. x=5에서 함수 ln(x)는 미분 불가능하다. 라는 결론은 매우 잘못. 아마 x=-5에서 라는 표현인거 같은데, 애초에 ln(x)의 정의역이 양수인데 자기가 임의로 음수까지 확장해놓고서는 음수의 함수값은 정의되지 않았다는 소리를 하고 있음. 그리고 이미 확장할 때는 lnlxl 로 하면 0을 제외한 실수에서 미분 가능함. 예시부터 잘못됨.
ㄴ종이의 제 말은 '정의역이 아니다'라는 걸 '함수값이 정의되지 않음'이라는 말로 표현하고자 했던 거였습니다ㅜㅜ 즉 '-5가 애초에 함수의 정의역이 아니니까 g(-5)가 존재하든 말든 f(x)는 x=-5에서 미분이 안된다'라는 말이었습니다
ㄴ 그래서 말하잖아. ln(x) 미분하면 1/x 로 끝이 아니지. ln(x) 에는 정의역이 양수를 포함한다고. 근데 여기서 g(x)=1/x ("0을 제외한 실수") 라고 정의역을 바꾸고 나서 ln(x)는 정의되지 않는 범위라고 하면 안된다는 거지. lnlxl는 정의되고, 극한값 존재하고 이게 함숫값과 같으니까 예시는 틀린거지.
f(x)의 도함수는 g(x)가 절대 아니고 1/x (단 x>0)라는건 알고 있습니다.. 그래서 위에 올린 상황이 잘못된 연산의 과정이라는 거고, 애초에 위의 이미지는 어떤 옳바른 예시를 올린게 아니라, 공식의 연산으로 나온 식에 함부로 원래 함수의 미분 불가능한 구간을 고려하지 않은 채 아무 x값이나 넣으면 오류가 생긴다는 것,
그런 상황을 질문 전에 먼저 언급하고 싶어서 올렸던 이미지 입니다.
"f(x)=(x^2)sin(1/x) (x가 0이 아닐 때), 0 (x가 0일 때)" 이런 함수를 좀 예로 들고 싶습니다. 저런 함수는 x=0에서 연속임이 확인 되고,
그래서 우린 함수의 정의역이 뭔지, 연속이 뭔지, 미분가능이 뭔지를 고등학교때 배웠잖아? 고등학교때 배웠으면 위의 예시에서 ln(x)의 정의역은 양수임을 아니까 잘못 대입한 걸 알고, 연속의 정의를 생각해서 연속인지 확인할 수 있고, 미분가능성을 고려해서 전 구간에서 대입이 가능한지를 확인 할 수 있잖아?
또한 (x^2)sin(1/x) (x=!0) 이 부분은 도함수의 정의를 통한 극한 연산 대신 연산과정중 극한이 사용되지 않는 이미 알려져있는 미분의 공식적인 연산을 통해서 그 도함수를 구하게 되는데
x=0의 경우에서는 극한의 정의를 통해서 미분가능성을 따져보고 나서야 '아 0에서도 미분계수가 존재하며 그 값은 0이구나' 라는걸 알 수 있습니다. 그런데
그런데 저 함수만 하더라도 x=0에서만 미분의 정의를 직접 이용해서 미분 가능성을 따져도 되는건지, 함수의 그 식의 모양이 워낙 복잡하고 그래프의 모양도 직관적으로 떠올려지지가 않으니(제 기준..) 혹시 다른 x에서도 단순히 연산과정중 극한연산 없는 미분공식의 적용말고 미분의 정의를 써야되는건 아닌지..
걍 딱 보고 미분 가능할거같으면 우리가 아는 미분법 쓰고 뭔가 구멍이 있을듯하면 정의대로 하면 됨
ㄴ구간/값마다
오!!! '딱 봐도 미분가능성은 x가 0이 아닐때는 당연히 되니까' 이런 판단이 어떻게 이루어질 수 있는건지, 경험이 쌓이면 직관이 생기는건지, 직관이 없을 경우 연역적인 증명은 못하는건지 바로 그걸 여쭤보고 싶었습니다!!!
"x=0 아닌 부분은 당연히 됩니다." 에서 이게 궁금하다고 하는거 같은데, 대학 수학 교재에 떡하니 적혀 있고 증명도 하고 싶으면 찾아보면 나옵니다 라고 대답하고 싶음. x=0 이 아닌 부분이 왜 당연히 되는지 다 나와있어. 합성함수 sin(1/x) 라던지, x^2과 sin(1/x) 의 곱의 미분가능성도 다 적혀 있음. 찾아보면 나오니까 됨 ㅅㄱ
애초에 우리가 미분 초반에 배우는 사칙연산(?)에 나오듯이 미분가능한 함수 f, g에 대해 그 곱과 몫도 미분 가능하단걸 알자너? 사실 이게 미분 가능공간이 좋은 성질들을 가지고 있다는 의미긴 한데
연속함수의 성질처럼 f+g도 연속이다, f×g도 연속이다, f-g도 연속이다 이런 성질이 주어져있으면 안심하겠는데 그런 부분을 제가 아는게 없어 그 '딱 봐도 미분가능성은 x가 0이 아닐때는 당연히 되니까' 이런 판단을 못내려서 그렇습니다
근데 몫에서는 분모가 0일 때 제외한다고 했자너? 그럼 이 경우에는 그런 미분법을 못쓰고 정석대로 정의를 써야한다는 의미지
ㄴ예 0일때는 정석대로 정의를 써야된다는 판단은 서는데, '딱 봐도 미분가능성은 x가 0이 아닐때는 당연히 되니까' 이 판단이 안 서져서 그렇습니다 f,g가 미분 가능하면 f+g도 미분 가능하다, f(g)도 미분 가능하다, 이런 성질의 증명이 혹시 교과서의
'f,g가 미분가능하면 d(f+g)/dx=df/dx+dg/dx 임이 성립함' 이 내용들과 같은 말인건지 여쭤봐도 되겠습니까
'(x^2)(sin(1/x)) 는 0이 아닌 모든 실수에서 미분가능하다' 를 증명하고 싶다면 'x^2는 모든 실수에서 미분 가능하다(알려져있음), 한편 1/x는 0이 아닌 모든 실수에서 미분 가능하다, 한편 sin(x)는 모든 실수에서 미분 가능하다, 고로...' 이런식으로 하면 되는건지.. 그 딱보면 나오는 직관적인 판단이 도저히 안되서 그렇습니다
맞음. 다항함수 로그함수 지수함수 삼각함수같은 elementary function들은 '각각 그 정의역 내에서' 다 미분 가능하고 (만약 두개 이상이 쓰까쓰까되면 당연히 교집합에서겠지) 그러면 미분법 적용 가능
야 넌 고등학교 함수파트부터 보는 게 나을 거 같다. 질문이 뭔 지는 알겠는데 설명을 해도 핀트를 못 잡고 같은 의문만 계속 제시하네
ㄴ과외하면서 느낀건데 고등학교때 문제만 죽어라 풀어서 이런 접근법이 죽은 학생들이 꽤 있을 수 있는듯 함
그저.. 한마디라도 해주시면 진심으로 감사할 뿐입니다 아무이득도 없는데 이렇게 지리한 질문 대답해주시는거니 정말로 몸 둘 바를 모를정도입니다 그래서 그런데 이제 정말 딱 하나만 더 여쭤보고 싶습니다
연속함수의 경우 f,g가 x=m에서 연속이면 합성함수 f(g)도 x=m에서 연속이다 라는 성질이 딱 증명된 채 교과서에 주어지는데 이제 미분가능공간에 관해서는
'f,g가 각각 g(a), a에서 미분 가능하면 f(g)도 ~~~에서 미분 가능하다'라는 서술이 합성함수의 미분법을 증명하던 그 과정을 통해서 똑같이 도출될 수 있을 것 같은데 1/sin(x) 라는 함수가 있다면 sin은 모든 실수에서 미분이 가능하고 1/x는 ×=!0일때 미분이 가능하다는게 알려져 있으니, 1/sin(x)는 x=!n파이 인 모든 실수에서
미분이 가능하다고 명징하게 (직관이 부족하더라도) 판단을 내리면 되는것인지 이것만 마지막으로 여쭤보고 싶습니다. 모자라는 질문때문에 너무 고생많으셨습니다.. 아무 이득도 없으시지만 저같은 사람들에겐, 너무 큰 도움이 됩니다 죄송합니다
씹가능
♥♥♥
미분 자체도 중간에 대수적 조작을 통해서 생성되는것이니 중간에 소거시켜 최종적으로 남는 값은 대수적으로 존재하고 소거되는 인자의 경우 수학적으로 정의되지 않는 케이스를 찾으면댐
공대새끼 멍청한거 귀엽네
글씨 잘 쓴당
미분이 극한이고 극한은 각각 값 존재하면 더하기도 쪼개고 곱하기도 쪼갤 수 있으니까 당연히 되지
일단 미분이 공식따로 극한따로라고 머리속에 있는 듯..