수학 뉴비가 질문드림

[익명(58.233)]

sin1 x sin3 x sin5 x sin7... x sin177 x sin179 = ?

이 문제 어케 푸는 거냐

[기괴공학도(mecheng98)]

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sin+1+*+sin+3+*+sin+5+*+sin+7+*+...+*+sin+177+*+sin+179

[Guess레기(tlsdml4628)]

sin1sin3..sin89=sin179sin178..sin91. 좌변을 p라하면 문제의 답은 p^2. p를 정리하면(sin1sin89)(sin3sin87)..(sin43sin47)sin45. 분모와 분자에 sin2sin4..sin88을 곱하자. 그럼 p=(sin1sin89)(sin2sin88)..(sin44sin46)sin45/sin2sin4..sin88

[Guess레기(tlsdml4628)]

sinx=cos(90-x) 이므로 p의 분자를 정리하면, (sin1cos1)(sin2cos2)...(sin44cos44)sin45. sina sinb= sin(a+b)/2므로 p의 분자를 또 정리하면 sin2sin4sin6..sin88×sin45/2^44. 앞에 싸인부분이 분모랑 약분되므로 p=sin45/2^44=루트2/2^45. 따라서 p^2=1/2^89

[기괴공학도(mecheng98)]

신기하네요. sin 1 * sin 89 = (sin 2) / 2, sin 2 * sin 88 = (sin 4) / 2, ..., sin 43 * sin 47 = (sin 86) / 2, sin 44 * sin 46 = (sin 88) / 2. 여기서 변변끼리 곱하면 sin(2 * n) 소거되면서 sin(2 * n - 1)만 남네요. 따라서 sin 1 * sin 3 * ... * sin 89 = 1 / 2^44이다.