방학때 미적분 공부하는데 의문이 좀 심각한게 생겨서 물어봐오.
길지만 부족한 중생 구제한답시고 예쁘게 봐줘오 한주치 고민한거에오.
초반에 미분은
어떤 변수x에 대한 함수f 가 있으면 f의 x에 대한 미분 f\'(x)은 점x에서 (f의 증분)/(x의 증분)
을 (x의 증분)에 대한 극한으로 정의해서 접선의 기울기로 생각할 수 있었어오.
그다음 적분은
어떤 변수x 에 대한 적분할 함수f가 있으면
적분 F(x)(a부터b까지)는
f의 x에 대한 그래프를 n 도막내고 모든 도막을 직사각형으로 취급할때 까지 n을 무한으로 날리고
도막의 넓이의 합을 n 에 대한 극한으로 정의했구오.
미적분학의 기본정리에 따라 f의 적분이 F면 F의 미분은 f인데오,
어떤 도형을 좌표평면에 놓고 함수f의 그래프로 생각하면(일반성을 잃지 않고 f>=0 이라고 할게오) 어떤x 지점에서 그 도형의 단면의 길이가 f(x) 가 되잖아오?
즉 구간(a,b)의 왼쪽끝 a부터 지점x 까지 도형의 부분의 넓이가 F(x) 면 f의 x에 대한 적분은 F고 F의 미분은 f라는 거잖아오.
기하학적으로 미분의 의미가 이렇다는 건 알았어오. 근데 도형의 넓이와 적분의 관계에 대해 생각해봤는데오,
원의 넓이가 πr^2 인거는 좌표평면 위의 원의 정의에 따라 f(x)=2 root (r^2-x^2) 의 (-r,r) 에서의 적분으로 구해지잖아오?
근데 초딩때 원을 무수히 많은 부채꼴로 나눠서
호가 현에 수렴할 때쯤 부채꼴들을 움직여 직사각형을 만들어서 r*πr 로 계산했었거든오.
분명 이것도 적분의 원리가 적용됬을거란 말이에오?
한번 이렇게 생각해봤어오.
정의상 반지름이 r인 원은 둘레가 2πr이에오.
원의 넓이는 원을 부채꼴들로 쪼갤때
(부채꼴의 넓이) 를 (호의 길이) 에 대한 함수로서 (0,2πr) 에서 적분한거에오.
(호의 길이)를 r*(중심각)으로 치환하면
다시 위의 적분은
(부채꼴의 넓이) 를 (중심각) 에 대한 함수로서
(0,2π) 에서 적분한거구오.
(현의 길이) = 2r*sin(중심각/2) 는 (중심각)
이 0으로 갈때 r*(중심각)으로 가니까
(부채꼴의 넓이) 역시 1/2*r^2*(중심각) 으로 가오.
그럼 다시 원의 넓이는
1/2*r^2*x 를 x에 대해 (0,2π) 에 대해 적분한거니까 πr^2 가 된다는 거에오.
근데 원을 쪼개는 방식은 한개더 있잖아오?
원을 바깥부터 띠 형태로 쪼개면 2πx 을
x에 대해 (0,r) 에서 적분한거니까 다시
πr^2 이 되오.
정리하면 평면도형을 잘게 쪼개서 그것들의 넓이가 0이 되더라도 길이는 존재하도록 잘 잘라내면 그건 제가 이해한 바로는 미분이 되는데오, 확장해서 구의 부피가 4/3*πr^3 인것도
방금 세가지 방법으로 겉넓이가 4πr^2으로 부터 유도된다는 거에오.
그럼 입체도형을 잘 쪼개서 부피는 0이지만
넓이는 존재하는 도형들을 구할 수 있다면 그것들도 미분이라는 거겠조?
Q. 임의의 n차원체에 대해서도 항상 성립할까오?
Q. 3가지 말고 또 어떤 \'잘 보이는\' 미분을 만들수 있을까오?
저는 이 미분을 잘 정의하기 위해 어떤 구조적인 대응관계가 보여질 필요가 있다고 봤어오.
미분은 분명 함수니까 어떻게 미분이 정의되느냐는 무엇에 대한 함수인가가 중요하다는 거에오. 좌표평면에 놓는 첫번째 미분은 평행한 단면들이고 두번째 방법은 둘레의 각점들이고
셋째는 껍질들 또는 내원(?) 들의 반지름이라는 거에오.
솔직히 이 셋 외에는 직관적으로 떠올릴수 있는지나 모르겠어오.
이게 왜 관심가냐면 말이조,
두번째 방법으로 구의 부피를 계산해보려고 하니까오 구의 겉면의 각점에 어떤 미분을 대응시키는 방법 자체가 첫번째랑 세번째처럼 쉽게 되지않는단 말에오.
일단 (x,y) (x는 -r부터r 까지)(y는 0부터2π)
로 겉면의 모든 점이 대응된다는 건 알았어오.
그럼 구의 부피는 구채꼴(?) 의 부피들을
겉면의 점들에 대해서 겉면에서 적분한 거겠조? 구채꼴의 밑면의 각변이 0으로 가면 구채꼴의 부피는 r/3*밑면의 넓이로 수렴하니까
대충 4/3*πr^3 이 나올거라고 생각했구오.
근데 4차원구의 표면(?)은 어떻게 대응관계를 만드는지 도저히 모르겠는 거에오.
대충 (x,y,z) 로 대응되는건지 막 5개가 필요하다던지 말이에오.
그래서 미분을 공부하려면 위상수학(?) 이 필요하다고 생각하고 마쳤어요.
솔직히 위상수학이 불변량과 거리를 다루는 수학인거 외에 잘 아는게 없거든오.
Q. 아직 문제집은 별로 열심히 풀어보진 않고 있는데 수학은 재밌는거 같아오.
수학갤 선배님들은 (대부분 수학과 시겠조?)
수학이 언제 재밌나오?
길지만 부족한 중생 구제한답시고 예쁘게 봐줘오 한주치 고민한거에오.
초반에 미분은
어떤 변수x에 대한 함수f 가 있으면 f의 x에 대한 미분 f\'(x)은 점x에서 (f의 증분)/(x의 증분)
을 (x의 증분)에 대한 극한으로 정의해서 접선의 기울기로 생각할 수 있었어오.
그다음 적분은
어떤 변수x 에 대한 적분할 함수f가 있으면
적분 F(x)(a부터b까지)는
f의 x에 대한 그래프를 n 도막내고 모든 도막을 직사각형으로 취급할때 까지 n을 무한으로 날리고
도막의 넓이의 합을 n 에 대한 극한으로 정의했구오.
미적분학의 기본정리에 따라 f의 적분이 F면 F의 미분은 f인데오,
어떤 도형을 좌표평면에 놓고 함수f의 그래프로 생각하면(일반성을 잃지 않고 f>=0 이라고 할게오) 어떤x 지점에서 그 도형의 단면의 길이가 f(x) 가 되잖아오?
즉 구간(a,b)의 왼쪽끝 a부터 지점x 까지 도형의 부분의 넓이가 F(x) 면 f의 x에 대한 적분은 F고 F의 미분은 f라는 거잖아오.
기하학적으로 미분의 의미가 이렇다는 건 알았어오. 근데 도형의 넓이와 적분의 관계에 대해 생각해봤는데오,
원의 넓이가 πr^2 인거는 좌표평면 위의 원의 정의에 따라 f(x)=2 root (r^2-x^2) 의 (-r,r) 에서의 적분으로 구해지잖아오?
근데 초딩때 원을 무수히 많은 부채꼴로 나눠서
호가 현에 수렴할 때쯤 부채꼴들을 움직여 직사각형을 만들어서 r*πr 로 계산했었거든오.
분명 이것도 적분의 원리가 적용됬을거란 말이에오?
한번 이렇게 생각해봤어오.
정의상 반지름이 r인 원은 둘레가 2πr이에오.
원의 넓이는 원을 부채꼴들로 쪼갤때
(부채꼴의 넓이) 를 (호의 길이) 에 대한 함수로서 (0,2πr) 에서 적분한거에오.
(호의 길이)를 r*(중심각)으로 치환하면
다시 위의 적분은
(부채꼴의 넓이) 를 (중심각) 에 대한 함수로서
(0,2π) 에서 적분한거구오.
(현의 길이) = 2r*sin(중심각/2) 는 (중심각)
이 0으로 갈때 r*(중심각)으로 가니까
(부채꼴의 넓이) 역시 1/2*r^2*(중심각) 으로 가오.
그럼 다시 원의 넓이는
1/2*r^2*x 를 x에 대해 (0,2π) 에 대해 적분한거니까 πr^2 가 된다는 거에오.
근데 원을 쪼개는 방식은 한개더 있잖아오?
원을 바깥부터 띠 형태로 쪼개면 2πx 을
x에 대해 (0,r) 에서 적분한거니까 다시
πr^2 이 되오.
정리하면 평면도형을 잘게 쪼개서 그것들의 넓이가 0이 되더라도 길이는 존재하도록 잘 잘라내면 그건 제가 이해한 바로는 미분이 되는데오, 확장해서 구의 부피가 4/3*πr^3 인것도
방금 세가지 방법으로 겉넓이가 4πr^2으로 부터 유도된다는 거에오.
그럼 입체도형을 잘 쪼개서 부피는 0이지만
넓이는 존재하는 도형들을 구할 수 있다면 그것들도 미분이라는 거겠조?
Q. 임의의 n차원체에 대해서도 항상 성립할까오?
Q. 3가지 말고 또 어떤 \'잘 보이는\' 미분을 만들수 있을까오?
저는 이 미분을 잘 정의하기 위해 어떤 구조적인 대응관계가 보여질 필요가 있다고 봤어오.
미분은 분명 함수니까 어떻게 미분이 정의되느냐는 무엇에 대한 함수인가가 중요하다는 거에오. 좌표평면에 놓는 첫번째 미분은 평행한 단면들이고 두번째 방법은 둘레의 각점들이고
셋째는 껍질들 또는 내원(?) 들의 반지름이라는 거에오.
솔직히 이 셋 외에는 직관적으로 떠올릴수 있는지나 모르겠어오.
이게 왜 관심가냐면 말이조,
두번째 방법으로 구의 부피를 계산해보려고 하니까오 구의 겉면의 각점에 어떤 미분을 대응시키는 방법 자체가 첫번째랑 세번째처럼 쉽게 되지않는단 말에오.
일단 (x,y) (x는 -r부터r 까지)(y는 0부터2π)
로 겉면의 모든 점이 대응된다는 건 알았어오.
그럼 구의 부피는 구채꼴(?) 의 부피들을
겉면의 점들에 대해서 겉면에서 적분한 거겠조? 구채꼴의 밑면의 각변이 0으로 가면 구채꼴의 부피는 r/3*밑면의 넓이로 수렴하니까
대충 4/3*πr^3 이 나올거라고 생각했구오.
근데 4차원구의 표면(?)은 어떻게 대응관계를 만드는지 도저히 모르겠는 거에오.
대충 (x,y,z) 로 대응되는건지 막 5개가 필요하다던지 말이에오.
그래서 미분을 공부하려면 위상수학(?) 이 필요하다고 생각하고 마쳤어요.
솔직히 위상수학이 불변량과 거리를 다루는 수학인거 외에 잘 아는게 없거든오.
Q. 아직 문제집은 별로 열심히 풀어보진 않고 있는데 수학은 재밌는거 같아오.
수학갤 선배님들은 (대부분 수학과 시겠조?)
수학이 언제 재밌나오?
대학미적분학을 공부해보시면 궁금증을 해결하는데 도움이 될거에요. 그리고 거기서 모든 궁금증이 해결될거라 봅니다. 고교 미적분에서 가르치는 내용은 수열의 극한과 함수의 극한에서 시작해서 미분과 적분까지 다룹니다. 물론 매우 직관적으로 다뤄요. 그래서 이런 궁금증은 당연해요. 배우는 내용이 적으니까요. 그런데 대학 미적분학을 공부한다면 고등학교에서 배우는 일변수 미적분학에서 시작해서 함수열의 극한을 엄밀히는 아니지만 입델논법으로 다루고 미분과 적분을 아주 도구적인 측면에서 배우다가 흔히 파트2라고 하는 이변수 미적분학으로 넘어가고 학생이 얘기한 입체도형의 적분도 배우고 선적분 면적분이라는 개념도 배울거에요. 먼 얘기같아 보이지만 1년 이내에 배우는 과목이라 어렵지 않을거에요. 위상수학도 설명해줄 수 있지만 아직
그 정도 단계는 아니신거 같아서 생략할게요. 고교수학에서 개념도 중요하지만 문제풀이도 중요하니 남은 수험기간동안 열심히 문제집도 풀면서 성적관리도 하시고 놀 때 놀면 즐거운 학교생활 하실거에요.