집합 A의 폐포(closure)가 닫힌집합

[ㄱㄴㄷㄹ(112.148)]

좌표공간에서 집합 A의 폐포를 A와 A의 도집합의 합집합으로 정의할때 A의 폐포가 닫힌집합임을 어떻게 보이나요?

(집합 A가 열린집합이라는 것은 A의 모든 원소 a에 대하여 A가 a의 적당한 e-근방을 포함할때이다. 어떤 집합이 닫힌집합이라는 것은 그 여집합이 열린집합이다.)

[ns(qwer2357)]

폐포 밖의 점 x가 있을때 그 주변으로 어떤 근방을 잡아도 폐포랑 교집합이 있다고 하자. 그리고 1/n 근방과 교집합에 들어가는 점 하나씩 뽑으면, A나 A 도집합 둘중 하나에는 들어가는 애들이 무한히 많이 포함해야함. A쪽이 무한히 많으면 정의에 의해 x가 도집합에 속해서 모순. 도집합의 원소가 그럼 무한히 많아야하는데, 1/n근방에 도집합의 원소가 들어간다면 정의에 의해 그 도집합에서 1/n근방 잡은게

[ns(qwer2357)]

A의 원소를 포함해야함. 즉 x에서 2/n 근방을 잡으면 A의 원소가 포함됨. 이런 n이 무한히 많아서 역시 x가 A의 도집합의 원소가 되어 모순.

[ns(qwer2357)]

따라서 폐포 밖의 점은 어떤 근방이 존재해서 폐포와의 교집합이 없음. 그래서 여집합이 개짐합이됨

[ㄱㄴㄷㄹ(112.148)]

오랜만에 질문올렸는데.. ns형님 항상 고맙습니다. 알려주신대로 해봤는데 x의 1/n근방안에 A의 원소가 무한히 많은 경우는 쉽게 됐는데 x의 1/n근방안에 A의 도집합에 원소가 무한히 많은 경우 결국 x의 1/n근방안에 A의 원소가 무한히 많다는 결론을 얻어서 또 다시 모순인것 맞나요?