문제)
실수 집합을 R 이라고 할때, R에서 0을 뺀 집합은 곱셈에 대해서 군을 이룬다. 이 군을 G라고 하자.
이때, G의 자명하지 않은 부분군 이면서, G와 동형인 군을 구하여라.
Let R be a set of real numbers. Then the set consist of nonzero elements of R is a multiplicative group.
Denote this group to G
Find the nontrivial subgroup of G which is isomorphic to G
문제는 이렇게 되어있고, 생각을 해 봤는데
우선, 우리가 구하는 부분군을 H라고 하면, G와 H의 cardinality 가 같겠지?
근데, G가 nonzero real number들의 집합이니까, cardinality는 uncountable이지.
그래서, G의 noncountable subgroup을 생각해보니, 양의 실수들의 집합밖에 생각이 안나더라고.
근데, 양의 실수들의 집합과 G가 isomorphic 하지 않은 것 같아서 말이지...
혹시 내가 모르는 isomorphism 이 있나? 아는 형님들 좀 부탁드려요 ㅠㅠ
물론, 없다면 없다는 증명도 환영!!
다른 일 같이 하고 있어서 답변 늦을 수도 있어요. 달아주는 것만으로도 감사합니다 ㅠ
수학 잘하는 법 갤러리 ㄱ
아직도 모르겠다면 알려줌. R× 에 Nontrivial sub는 자기 자신 밖에 없다. 접근을 card 로 하는게 아니라 iso f에 대해 f(ab)=f(a)f(b) 로 생각해보셈.
마이너 갤러리가 있었네요. 답변들 ㄳㄳ 한번 생각해 볼께요!
(1) 1,-1이 G의 원소일까 아닐까? (2) R×이 (-inf,inf)\0 잖아. Iso 라면 G도 (-a,a)\0 으로 생겼다는 걸 알 수 있지. (3) 만약 G의 원소들이 어떤 (-p,p)\0 에 들어간다 치자. (bound 라면.) p>0 의 범위가 어떻게 될까? (1) 과 생각했을때 결론은?
아, H가 bounded가 되는 아이디어가 있네요. 그러면 (-1, 1)\0 가 subgroup of G인건 맞겠고, isomorphism 이 뭘까 생각해 봐야겠네요.
근데 여기서 subgroup 형태가 꼭 (-a,a)\0 일 필요는 있나요? 이 궁금증 없이도 문제는 어느정도 풀 수 있겟지만, 궁금하긴 하네요
헷갈리게 말했네 R× 이 문제의 G고 G가 네가 말하는 H임. R,C 등에서 0를 빼고 multiplicative group 으로 생각할때 R× C× 를 씀. 알아두셔.
Iso 는 둘째치고 위상수학적으로 생각하면 연속집합의 bijection 대응집합은 연속이어야지. bound 실선은 임의의 개구간과 대응하거든. 실선에서 구멍하나 뚫으면 똑같이 개구간에 구멍하나 뚫어주면 되는거.
아하 결국엔 isomorphism 이전에 bijection 때문에 그런 거였군요. 그러면 이건 위상수학과도 연관을 시켜 봐야겠네요.
늦은 새벽에 감사합니다! 위상수학 파트를 다시 공부하고 봐야 할 것 같네요.
Iso 의 정의를 활용해서 확실히 하자면 (1) f(1)=f(1)f(1)=f(-1)f(-1)=1 이니까 H에는 1과-1 있음 (2) f(-a)=-f(a) 이고 (3) H abelian 이니까 h가 H에 있으면 1/h H에 있고 하나하나 따지면 H가 어떻게 생겨먹어야 되는지 견적이 나오지.
내가 주는 힌트들의 핵심은 막연히 iso 를 구성하려하지 말고 최소한 H가 뭐는 품고있어야 되는지 iso가 적어도 어떤 대칭성을 갖고 있는지 등의 조건을 좁혀서 생각하라는 거야. 군론 뿐 아니라 대수는 다 이렇거든.
말하신 성질들은 전부 체크를 했었는데, 그래도 잘 아이디어가 안떠오르더라구요
새벽에 감사했습니다.! 여기서부터는 생각해보고 낮에 생각해볼께요!