현우진이 원함수가 전 구간에서 미분 가능하고 도함수가 불연속인 함수는 y=x²sin1/x말고도 자기가 본 것만해도 100개가 넘는다는데 왜 하필 저함수만 가지고 얄팍한 지식으로 설치냐고 말했는데요, 저 함수말고 또 어떤 함수가 있나요? (또 제가 그 함수로 설치려는 것이 아니라 그냥 궁금해서 여쭤보는 겁니다)
도함수가 불연속인 함수
익명(221.162)
2019-02-03 14:36
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저게 어떻게 0에서 미분가능인데?
f(x)=x²sin(1/x) (x≠0) 0 (x=0)
x가 0이 될 수가 없는데 어떻게 함숫값이 있음? 원함수가 불연속아님? - dc App
아 그럼 맞지
똑같이 x^2(1/x-[1/x]) 도 성립해
아뭐야 댓글에 달려있네; - dc App
비슷비슷하게 무한히 의도해서 만들수 있음 1/x 가 0에서 불연속인것만 이용하면
x^2cos1/x 도 되고
x^1.5 sin (1/x), x^1.7 sin 1/x, f(x)^2 sin 1/f(x)꼴, 저거 몇개 합성해서 더한거 등등..
근데 모든 점에서 도함수가 불연속이라든지 이런건 불가능함.. 도함수의 불연속점은 Baire first category (meagre set)에 속해서, 불연속점을 제한없이 임의적으로 배치시킬수는 없음.
아 전구간 미분이니 저 x에 절대값 씌워줘야겠네. 아무튼ㅋㅋ
x^2(1-x^2)sin[1/πx(1-x)] 0<x<1 은 0,1에서 엇나감
그리고 반대로 아무 F_{\sigma} meagre set S를 가져오면, 어떤 실수 위에서 미분가능한 함수 F : R -> R을 만들수 있어서, F의 불연속점의 set이 정확히 S가 되게끔 할 수 있음.
Derivative의 discontinuity set의 classification에 관한 저 잘 알려진 정리의 출처가 궁금해서 구글링해보니, math stackexchange에 관련 링크가 있네.
https://math.stackexchange.com/questions/112067/how-discontinuous-can-a-derivative-be
그럼 고딩 입에서 F_σ meagre set 라도 나오길 바라는건가? 시발 수학강사라는새끼들 잘난체하는건 알아줘야됨
애시당초 고딩한텐 미분가능성이 도함수의 연속성을 암시하지 않는다는 반례로서 제시하는건데, 지가 그런걸 많이 알건 모르건 무슨상관이야