0.99999...=1 이지만 인간은 아직 실수에 대해 잘 모르는 것같음

[))(chermy018)]

수학적 사실이 주어졌을 때 그러한 사실의 증명을 따라가보면 전개과정이 어떻든 간에 당연한 결과임을 알게 됨. 그런데 0.99999...=1 같은 경우는 1-0.9=0.1, 1-0.99=0.01, 1-0.999=0.001, ... , 1-0.99999...=0.00000...=0 과 같이 최선을 다해도 0.00000...=0 이 의심이 됨. 그리고 일반적인 실수 표기법은 정수부+소수부인데 실수 끼리의 덧셈에 대해서 소수부가 순환소수이면 유리수로 치환하여 더하면 되지만 유리수가 아닌 비순환 무한 소수를 포함하는 실수 끼리의 덧셈 조차 그 수가 무엇인 지 모르기 때문에 π+√2 식으로 나타내는게 한계이고 비순환 무한 소수를 포함하는 실수의 수열의 규칙을 알았다 해도 여전히 덧셈 조차 힘듬. 인간은 실수에 대해서 아직 잘 모르고 있음. 산술 조차 완벽히 정립되지 못했다는 것임.

[딴따라(125.134)]

네가 만들어봐

[익명(211.212)]

실수는 자연의 대상이 아니라 수학적으로 정의된 대상이고, 그 정의에 의하면 0.999... = 1은 당연히 귀결되는 사실인데 인간이 왜 실수에 대해서 모르고 있느냐는 결론이 나오는지?

[익명(211.212)]

사람들이 0.999... = 1에 대해서 의문을 제기하는건, 그 사람들이 실수에 대해서 수학적인 정의가 아니라 직관적으로 받아들였기 때문이지, dedekind cut이나 cauchy 수열의 equivalence relation을 주어서 정의된 실수를 유념하면 0.999... = 1은 전혀 논란의 거리가 되지 못함.

[익명(211.212)]

그리고 실수의 원소들은 그냥 수학적인 대상이고, 이미 잘 정의된 수학적인 대상에 이를 편하게 표기하기 위한, (진법에 따른) 여러 표기법이 있는것임. 다만 어떤 진법을 택하더라도 그 표현법이 유일하지 않을 뿐임. 예를 들어서 10진법에서는 0.9999....와 1이라는 같은 실수에 대한 두가지 표기법이 있고, 2진법에서는 0.1111...와 1이라는 같은 실수에 대한 두가지 표기법이 존재함.

[))(chermy018)]

사실 0.9땡 이야기는 그냥 집어놓은 것이고 주요 논점은 앞서 말한 실수 계산 문제임.

[익명(211.212)]

다시 이야기하면 실수는 '10진법, 2진법'과 같은 표기법을 정의하기 이전에 이미 정수, 유리수를 통해서 먼저 정의할 수 있는 잘 정의된 수학적 대상이고, 본문의 정수부 + 소수부 이런건 그냥 이미 잘 정의된 대상을 표현하는 방법론 중 하나일 뿐임. 중, 고등학교에서 실수를 어떤 식으로 정의할 수 있는가에 대해서 논하지 않기 때문에 학생들이 '실수부 + 소수부'로 표현하는 것이 실수의 본질이라고 생각하고 따라서 0.999...와 1은 달라야 하지 않느냐? 와 같은 의문을 만드는 것이고, 실상은 0.9999...나 1이나 실수의 어떤 대상을 표현하는 서로 다른 두 방식일 뿐이라서, 두개가 같다는건 논란의 여지가 없게 됨.

[익명(211.212)]

내가 말하는건 '정수부 + 소수부'로 표현하는게 실수의 본질은 아니라는거야. 파이 + 루트(2)가 어떤식으로 표현되든지 간에, 그냥 실수의 원소일 뿐임. 이것이 유리수냐, 무리수인가? 와 같은 분류에 관한 질문에 대한 답을 모를 뿐이지, 정수부+소수부로 표현할 때 소수부가 어떤 식으로 적히는지 잘 모르기 때문에 실수가 미지의 대상인건 아님..

[))(chermy018)]

실수가 숫자로 표기해야지 수라고 할 수 있는 거 아닌감? 본질인지 정의인 지..

[익명(211.212)]

실수는 이미 추상적으로 잘 정의된 대상이야. 페아노 공리로부터 자연수를 정의할 수 있고, 자연수로부터 정수를 정의할 수 있고, 정수로부터 유리수를 정의할 수 있고, 코시 유리수열들의 모임으로부터 equivalence relation을 주어서 실수를 정의할 수 있음. 표현법 이전에 이미 정의가 잘 된 대상임. 그것을 어떤 방식 (예를 들어서 본문에서 언급한 10진법의 정수부 + 실수부) 으로 표현하는지 잘 모른다고 잘 정립되지 않은 대상이라고 말하는건 잘못된 거지.

[익명(211.212)]

다만, 실수의 본질이나 정의에 관한 것들을 고교 수준에서 엄밀하게 다루기에는 어렵기때문에 학교에서는 그냥 정수부 + 소수부로 표현할 수 있는 수... 와 같은 식으로 그것이 실수의 정의의자 본질인 것처럼 소개하고 있으니 문제가 되는 것이지, 실제로 전공수학 들어가면 해석학 처음 배울때 시작하는게 실수의 정의임.

[익명(211.212)]

다시 말하면 우리가 실수에 1, 2, 0.123, 3.141592... 이런 식으로 적는건 이미 있는 대상에 '개똥이, 말똥이' 처럼 이름을 붙이는것에 불과할 뿐이지, 그 이름이 대상을 정의하는건 아님. 마찬가지로 0.999...와 1도 어떤 한 실수에 대해서 표기하는 서로 다른 방법일 뿐이지, 표기법이 다르다고 두 표기가 나타내는 대상 (실수) 이 달라지는건 아님.

[))(chermy018)]

그러면 실수끼리의 사칙연산은 모두 계산가능이라는 말인가요? 저는 컴공이라사 해석학도 잘 몰라여..

[익명(211.212)]

어떤 실수의 계산가능성(computability)은 그 실수가 잘 정의되는가와는 다른 의미임. 단적으로 언어로서 특정지을 수 있는 대상만 다룬다면, 그런 대상은 당연히 countably infinite하고, 마찬가지로 계산가능(computable)한 실수 또한 countable하기 때문에, 실제로 그렇지 않는 실수가 훨씬 많지. 단적으로 전산학에서는 결국 실수를 다루려면 실수를 어떤 방식으로 표현해내야하기 때문에, computable한 실수만 주로 따짐.

[))(chermy018)]

그렇군요. 제 논지가 그런 거 였어요.

[익명(211.212)]

예를 들어서 a와 b라는 실수가 주어졌을 때, a+b는 실수의 정의 (데데킨트 컷을 이용해서 정의하든, 코시 수열을 이용해서 정의하든) 에 의해서 실수가 된다는 것을 증명할 수 있음. 하지만 'a와 b라는 실수와 그 표기가 주어졌을 때, a+b라는 실수는 (같은 표기법을 따를때) 어떤 식으로 표기되어야 하느냐'와 같은 질문이 던져진다면, 그건 a+b가 실수임을 보이는 것과는 전혀 다른 문제가 됨. 전산학에서는 실수를 프로그램 상에서 어떤 식으로든 특정 표기법을 채용해서 표기를 해야하니, 이런 주제들이 관심의 대상이 됨.

[익명(211.212)]

실제로 직관주의자들 중에서는 '어차피 사람이 직접 표기하고, 눈으로 써가면서 관찰할 수 있는 대상만 고려하면 되지 않은가?' 식의 주장을 하는사람들이 있고, 이런 사람들은 그런 computable한 실수만 실수로 취급하기도 함. (상당수 있지만, 수학의 주류라고 하기는 어려움..) 더 극단적인 부류는 아예 무한집합의 존재도 수학에서 차용하지 않아야 한다는 소위 "Ultrafinitism"에 속함. 이런 사람들은 자연수 집합, 이런것을 고려하는것도 반대함. (마찬가지로 극소수에 속함) 전산학 하는 분들 중에서 직관주의자들이 있는 편이고, 전산학에서 주로 다루는 대상은 computable한 대상이니 이는 합리적으로 보임. 하지만 결국 전산학과 수학이 완전히 목적이 일치하는 학문은 아니니까...

[익명(211.212)]

예를 들어서 이산수학을 주로 연구하시는 분들이라면, 물론 주로 연구에 쓰는 도구들이 무엇이냐에 따라 많이 달라지겠으나 무한집합을 사용하지 않는 도구들을 주로 쓴다면, 그런 분들 입장에서는 Ultrafinitism에 속하더라도 별 문제가 안 됨. 하지만 예를 들어서 선택공리 등에 많이 기반할 수밖에 없는 여러 추상적인 분야라면 (단적으로 대수 전공하시는 분들 입장에서 당연시하는 maximal ideal의 존재 같은걸 보장하려면 선택공리를 끌고와야 하니) 이런 Ultrafinitism에 해당하지는 않겠죠. 수학의 foundation에 대한 주류 의견은 있지만 그게 고정된 건 아니니, 이런 식으로 foundation에 대한 다양한 의견을 가진 사람이 있는건 좋은 방향이고, 당연한 현상이라고 생각합니다.