이거 내가 쓴 논문의 본문 첫 페이지거든

오류가 없는지 한번 봐주라.

------------------------------------------

Ⅱ. 집합과 공리계 구성하기


2.1 공리로 폰 노이만 전체 구성


우선 집합을 몇 개의 공리를 통해 구성해보려고 한다. 모든 집합을 구성하기 이전에, 우선 공집합과 공집합의 멱집합, 그리고 공집합의 멱집합의 멱집합, …으로 구성된 V(폰 노이만 전체)⁰⁾을 구성해보자. 이는 다음과 같은 공리들로 가능하다.


공집합∅은 존재한다.

임의의 집합 n에 대해, n을 원소로 하는 집합이 존재한다.

임의의 집합 A, B에 대해 A, B의 원소를 모두 원소로 가지는 집합이 존재한다.

공집합 외에 원소가 없는 집합은 존재하지 않는다.

임의의 집합 A, B에 대해, 두 집합이 같은 원소를 가진다면 두 집합은 같다.

V의 부분집합 X에 대해, ∅∈X이고, X의 임의의 집합 n, m에 대하여 {n}∈X, {m}∈X이고, (n∪m)∈X인 X는 V이다.


두 번째 공리를 통해 ∅, {∅}, {{∅}}, {{{∅}}},…이 가능하며

세 번째, 합집합 공리를 통해 {∅,{∅}}, {{{∅}},{∅,{∅}}}, … 등이 가능함을 알 수 있다. 따라서 공집합의 멱집합군 {∅,{∅},{{∅}},{∅,{∅}},…}=V이 구성 가능하다.


*멱집합군은 어떤 집합 n에 대해 n의 멱집합의 멱집합의 멱집합의 멱집합…을 무한 번 반복했을 때 구성 가능한 집합이라고 잠시 약속하자. V를 집합으로 다루는 것에 대해서는 ‘러셀의 역설’과 관련해 후술하겠다.


이는 페아노 공리계¹⁾의 방법론을 참고했으며 다섯 번째 공리는 ZFC 공리계²⁾의 외연 공리를 그대로 가져왔다.

한편 {∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}, ...}=V의 부분집합 {∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}}에서 재밌는 점을 발견할 수 있는데, 이 집합은 ZFC 공리계에서 구성 가능한 집합임에도 원소 {∅, {∅}}는 자신의 멱집합인 앞선 집합과 서로소가 아니다. 즉 정칙성 공리 혹은 기초 공리라고 불리는 공리는 ZFC 공리계에서 모순을 일으킨다.


-------------------------------------------------------------------------------------------------

틀린 내용 일단 지웠어


혹시 이 다음 내용이 궁금하면 Baekhyun Lee라는 이름으로 viXra에 게제했으니까 확인해봐.

본문은 한글이야. 집합론 페이지에 있어.


http://vixra.org/setlog/