복소수 거듭제곱 질문좀

[익명(112.167)]

e^bi :=cosb+isinb
이거 왜 그래...?
이게 정의니까 외워 이러지말고 정의를 한 이유가 있을거 아니야 그치.,? 유용해서 이러지 말고 어디에 유용한지 자세히 설명좀ㅠ

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[ㅎㅆ(125.134)]

그건 정의가 아닌데

[ㅎㅆ(125.134)]

정의는 맞는데 무작정 그런게 아니고 끼워맞추다보면 그렇게 됨. 일단 |e^xi|=1 이고 e^xi가 주기함수라는 걸 보이면 e^xi 의 실수부와 허수부가 각각 주기함수라는 걸 알거임. 그래서 실수부른 코사인, 허수부를 사인 함수라고 정의해도 원래 기하학적으로 정의된 삼각함수와 똑같은 거야.

[ㅎㅆ(125.134)]

그리고 복소평면위에서 평면좌표로 계산되는 것들이 극좌표로 옮기면 계산이 많이 수월해지는 경우가 있음. 푸리에 할때도 중요함

[ns(qwer2357)]

대표적인거 두개는, 테일러 전개 exp(z) = sum z^n /n! 이 복소범위로 성립한다고 가정하고 z=ib 대입하면 cos b + i sin b가 나옴. 복소해석함수는 반드시 시리즈전개가 가능하고 그 방법이 유일하기땜에 e^x를 복소범위로 확장하는 유일한 방법인것도 암. 그래서 이 확장법을 정의로 사용하고 있음

[ns(qwer2357)]

다른 하나는 이계미방 y''=ay가 a가 양수일때 c1 exp( root a x) + c2 exp(- root a x)꼴이 되는걸 아는데 a가 음수일땐 저게 d1 cos root |a| x + d2 sin root |a| x 꼴이 됨.. 근데 이걸 양수일때 식처럼 쓸수있다고 가정하면 root a자리가 root|a| i가 들어가고 적당한 초기값 넣고 정리하면

[ns(qwer2357)]

cos x = e^ix + e^-ix /2 등이 유도됨. 이로부터 오일러식을 복원해낼 수 있음

[익명(39.7)]

유용하지 않은 곳을 찾는게 나을 듯... 파동을 계산할 수 잇잔어. 우주에 나타난 현상중에서 파동이 없는게 잇기나 하냐?... 급식 수학을 기초로 실험(?) 수학적 방법으로 오일러 공식 유도하는 게 잇는디, 한번 읽어봐라. 파인만 물리학 강의 1권임.
http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_22.html