우선 집합을 몇 개의 공리를 통해 구성해보려고 한다. 모든 집합을 구성하기 이전에, 우선 공집합과 공집합의 멱집합, 그리고 공집합의 멱집합의 멱집합, …으로 구성된 V(폰 노이만 전체)을 구성해보자. 이는 다음과 같은 공리들로 가능하다.
공집합∅은 존재한다.임의의 집합 n에 대해, n을 원소로 하는 집합이 존재한다.임의의 집합 A, B에 대해 A, B의 원소를 모두 원소로 가지는 집합이 존재한다.공집합 외에 원소가 없는 집합은 존재하지 않는다.임의의 집합 A, B에 대해, 두 집합이 같은 원소를 가진다면 두 집합은 같다.V의 부분집합 X에 대해, ∅∈X이고, X의 임의의 집합 n, m에 대하여 {n}∈X, {m}∈X이고, (n∪m)∈X인 X는 V이다.
두 번째 공리를 통해 ∅, {∅}, {{∅}}, {{{∅}}},…이 가능하며세 번째, 합집합 공리를 통해 {∅,{∅}}, {{{∅}},{∅,{∅}}}, … 등이 가능함을 알 수 있다. 따라서 공집합의 멱집합군 {∅,{∅},{{∅}},{∅,{∅}},…}=V이 구성 가능하다.
*멱집합군은 어떤 집합 n에 대해 n의 멱집합의 멱집합의 멱집합의 멱집합…을 무한 번 반복했을 때 구성 가능한 집합이라고 잠시 약속하자. V를 집합으로 다루는 것에 대해서는 ‘러셀의 역설’과 관련해 후술하겠다.
이는 페아노 공리계의 방법론을 참고했으며 다섯 번째 공리는 체르멜로-프렝켈 공리계의 외연 공리를 그대로 가져왔다.
V를 집합으로 취급한다는 점에서 러셀의 역설을 해결해야 한다. 러셀이 제기한 문제를 위에서 구축한 공리계로 표현하면, V의 부분집합 M={x∣x∉x}에서 M이 자기자신을 포함하는가?\'가 된다.우선 V의 부분집합 중 И={x∣x는 ∅∈И, n∈И에 대해 {n}∈И을 만족하는 모든 집합}, 즉 И={∅, {∅}, {{∅}}, {{{∅}}}, {{{{∅}}}}, …}를 생각해보자. ∅=1로 표기하기로 약속하고, {1}=2, {2}=3, 임의의 n에 대해 n⁺={n}이라고 약속하면 곧 {∅, {∅}, {{∅}}, {{{∅}}}, {{{{∅}}}}, …}={1, 2, 3, 4, 5, …} 즉 자연수의 집합으로 표현될 수 있음을 알 수 있다.
*∅={}=1에서, ‘{’와 ‘}’ 짝의 개수가 곧 그 집합을 표기하는 숫자가 된다. {}=1, {{}}=2, {{{}}}=3
한편 자연수의 개수가 ℵ₀라고 한다면 И의 원소의 개수는 ∣И∣=ℵ₀가 된다. 이때 И={1, 2, 3, 4, 5, …}의 원소 중 ℵ₀번째 원소를 그대로 ℵ₀이라고 하자. 다음과 같은 식이 성립할 수 있음을 알 수 있다.
ℵ₀⁺=ℵ₀+1={ℵ₀}
이때 ℵ₀+1=ℵ₀이므로, ℵ₀={ℵ₀}가 성립한다. 이는 x={x}의 꼴로, 사실 다른 공리계, 특히 체르멜로-프렝켈 공리계의 기초 공리(정칙성 공리)와 전면으로 모순되는데, 그 이외의 나머지 공리와는 모순되지 않는다.(예를 들면 ℵ₀를 원소로 갖는 ℵ₀는 유일하다.)폰 노이만 식의 자연수 구성, 1={0}, 2={0, 1}, 임의의 n에 대해 n⁺=n∪{n}={0, 1, 2, 3, …, n}를 봤을 때에도 ℵ₀⁺=ℵ₀={0, 1, 2, 3, 4, …, ℵ₀}이고, ℵ₀∈ℵ₀가 성립하므로 V의 부분집합 {x∣x ∈x}에서, {x∣x ∈x}의 원소가 존재한다. 또한 이는 앞서 만든 공리계에서는 모순을 일으키지 않는 것을 알 수 있다.
그렇다면 이제 V의 부분집합 M={x∣x∉x}에서 M∈M인지 M∉M인지 알아보자.일단 M∈M을 가정하면, M을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
M=M∪{M}
어디서 많이 본 구성이다. 이때 M=M∪{M}이므로
M=M∪{M}=M∪{M∪{M}}=M∪{M∪{M∪{M}}= …
이렇게 표현할 수 있으므로 M∈M이라면 M에서 x ∈x를 만족하는 원소가 포함되는데 이는 M={x∣x∉x}라는 정의에 모순이다. 따라서 M∈M은 불가능하다.따라서 V의 부분집합 M={x∣x∉x}에 대해 M∉M이며, V에서 x∉x인 집합은 무한히 많고 이를 모두 더해 M을 구성할 수 있다.그래도 여전히 M∉M이며, 모순은 발생하지 않는다.
한편 V에 대해서 {V}를 생각해보자. 이때 아까 구축한 공리에 의해 {V}도 V의 원소이고 V ∪{V}도 V의 원소다. 따라서 V를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
V={∅,{∅},{{∅}},{∅,{∅}},…,V,{V},{{V}},{V,{V}},…}
V가 V를 포함해도 문제는 없다. V는 여전히 이 공리계에서 모든 것의 집합이다.
한편 M={x∣x∉x}라고 했을 때, x∣x∉x라는 규칙 자체는 V에 포함되지 않는다는 것도 기억해 둘 만하다.
(x∣x∉x)∉V
---------------------------------------------------------------





뭐