Projection 행렬의 rank와 eigenspace와의 관계...?

[asdf(203.229)]

형님들 이 문제에서 (c)를 어떻게 풀어야 할까요..? Hint봐도 감이 안잡히네요..

'rank(A) 랑  고유값 1에 대응하는 고유공간의 차원이랑 같다'

고유공간의 차원이랑 rank(A)랑 어떻게 연결시켜야 할지 ...

[asdf(203.229)]

아 그리고 어제 (a)번 답변 달아주신 수갤형님 감사합니다. (__)

[AKIRAx(chrislee93)]

Symmetric이면 대각화가능함

[토론토수학(74.15)]

한국어 잘못해서 영어로 씀. Since A is symmetric, by the spectral theorem there exists an orthonormal basis of eigenvectors. Let v_1, ..., v_n be this basis, then for any x, x=a_1v_1+...+a_n v_n for some constants a_i. Now, since A is a projection (idempotent) matrix, we get that the only eigenvalues of A are 0 or 1, hence each basis vector v_i is either an eigenvector of 0 or 1.

[토론토수학(74.15)]

Now, let E_1 be the eigenspace corresponding to the eigenvalue 1, and let dim(E_1)=k<n. WLOG, reorder your basis such that v_1,...,v_k are in E_1. Then we see that Ax=a_1Av_1+...+a_kAv_k+...+a_nAv_n=a_1v_1+...+a_kv_k. So we see that the image of A has dimension k, so rank(A)=dim(E_1)