일단 명심해야 할 게 0.99...랑 1이 같다는 건 정의에서 나오는 것이다. 다르게 말하면 수학적 약속이다.
이 논제를 제대로 이해하려면 실수의 정의를 알아야 한다.
그리고 정의에는 근거가 없다. (그러면 정의가 아니지) 그러니까 이걸 설명하려고 하는 건 어리석은 행위다.
(0.99..라는 수를 쓰는 것 자체가 확장된 수체계의 수를 가져오는 것인데 그걸 초등학교 수학으로 설명하려고 하면 당연히 안됨. 마치 영어로 한 말을 비슷하게 발음나는 한국말로 해석하는 것과 같다)
현대수학에서 자연수는 집합론을 기반으로 구성하고, 유리수는 자연수(에서 얻은 정수)로부터 정의한다. 여기서 자연수를 유리수로 확장하는 건 거의 누구나 동의할 만한 일이지. 자연수를 부정하겠다면 수학은 못하는거고.
문제는 유리수를 실수로 확장하는 것이다.
옛날 수학 교과서나 교양서적을 읽은 사람이라면 루트 2 가 1, 1.4, 1.41, 1.414...로 한없이 다가간 값이라는 설명을 본 적이 있을 것이다.
이렇듯 실수를 유리수에서 끌어오는 가장 natural한 방법은 주어진 실수로 수렴하는 유리수열을 생각하는 것이다.
즉, 실수의 정의는 사실 그 실수로 수렴하는 유리수열이다.
그런데 여기에서 문제가 있는 게, 어떤 실수로 수렴하는 유리수열은 하나가 아니라는 것이다. 예를 들어 1,1.4, 1.41, ...이랑 2, 1.4, 1.41, ... 는 둘 다 루트 2로 수렴한다.
그렇기 때문에 실수를 어떤 수열 하나로 대표시킬 수는 없고, 그 실수로 수렴하는 모든 수열의 묶음으로 보는 것이 자연스럽다.
그리고 또 한 가지 문제가 우리는 아직 실수 체계를 정의하지 않았기 때문에 '실수'로 수렴한다는 말을 할 수 없다. 그렇기 때문에 두 유리수열이 '수렴한다' 와 '동일한 수로 수렴'한다는 것을 간접적인 방법으로 체크하는데, 이는 한번쯤 이름을 들어봤을 코시라는 사람이 만든 개념이다.
{a_n}이 "수렴한다" : 임의의 양수 ε에 대해 어떤 N이 존재해 N이상의 임의의 p,q에 대해 |a_p-a_q|는 ε보다 작다.
수렴하는 수열 {a_n}과 {b_n}이 "같은 값으로 수렴한다" : 임의의 양수 ε에 대해 어떤 N이 존재해 N이상의 임의의 p에 대해 |a_p-b_p|는 ε보다 작다.
(여기서 ε은 유리수다. (실수를 정의하지 않았으니까))
여기서 같은 값으로 수렴하는 건 이해가 될 텐데, 수렴을 왜 저렇게 정의하는지 모르겠는 사람이 있을지도 모르겠다.
저 정의는 사실 수열의 값들이 궁극적으로 '모인다'는 말과 같다. 즉, 우리 뇌피셜로는 어느 수로 갈 거라고 말하고 싶은데, 그 수가 아직 정의된 건 아니고 오히려 이 수열을 가지고 정의해야 되는 상황이니까, 얘네들이 점점 서로 가까워진다, 뭉친다 이런 얘기를 하고 싶은 거고 그걸 수식으로 풀어쓴 게 저 정의임.
그래서 수학에서 실수는 "같은 값으로 수렴하는" 유리수열들의 모임으로 정의하게 되었다. (참고로 이렇게 어떤 관계 ~에 대해 동일한 ***의 모임을 equivalent class라고 함)
이렇게 하고 +,*같은 연산을 natural하게 정의하면 ({a_n+b_n}, {a_nb_n} 등) 우리가 초중고교과정에서 배웠던 모든 연산규칙과 극한 정리들, 순서성이 모두 만족되는 것을 확인할 수 있다.
근데 이러면 1은 어떻게 정의된 거냐고 물을 수가 있지. 그러니까 유리수가 실수에 들어가 있어야 만족스러운 얘기가 가능하잖아? 그래서 1은 {1,1,....}(과 같게 수렴하는 유리수열의 모임)으로, 그리고 일반적으로 유리수 q는 실수에서 {q,q...}(같은말)로 정의한다.
여기까지 했으면 원래 문제는 금방 해결할 수 있지.
0.999999....는 "{0.9, 0.99, 0.999,...}와 같은 값으로 수렴하는 유리수열의 모임" 이고, 1은 "{1,1,...}과 같은 값으로 수렴하는 유리수열의 모임"이다.
"같은 값으로 수렴하는 것과 같은 값으로 수렴하는 것"은 "같은 값으로 수렴하는 것"이므로(이거 정리임. 한 3줄정도면 증명할 수 있음)
저 두 수열이 "같은 값으로 수렴함"을 보이면 충분함.
증명 : 임의의 고정된 양의 유리수 ε은 어쨌든 1/100000(0이 N개) 보다는 엄청 큰 N에 대해 작다. 따라서 적당한 N번째 항 이후부터 두 수열의 항의 차는 ε보다 작다. □
P.S. 수갤의 위인들이 가끔 가다가 0.999...=1이 아니라고 주장하는 경우가 있을 수 있다. 사실 그렇게 정의하는 방식도 존재는 할 수 있다. 다만 엄청 실질적으로 쓸모가 없고 비직관적이기 때문에 매우 마이너하다. 그런 변형수학까지 대중에게 일깨워주기 위해 오늘도 수갤에 복음을 전파하는 수갤의 거장들에게 박수를 보내자.
그렇게 말씀하다니 감사합니다
0.999...를 0.9, 0.99, 0.999, ...의 극한으로 취급한다면, 결국 실수의 완비성에 의해서 극한값의 존재성이 보장되고 그것은 1이어야 하므로, 실수의 완비성에 의한게 맞죠. 두 완비순서체는 동형임을 보일수 있기 때문에, 현대수학에서 실수는 완비순서체로 정의가 되고, 그러한 완비순서체로서의 공리를 만족하는 체가 실제로 존재하는가? 라는 물음에 답하기 위해서, 본문의 유리수열의 completion으로 정의한 체가 실수의 공리를 만족함을 보이거나, 또는 데데킨트 절단을 써서 정의된 체가 실수의 공리를 만족함을 보이죠.
그거를 짚고 넘어가면 좋은데, 그리고 사실 완비성 말하는 사람들 중에 반은 그걸 인지하고 하는 말일텐데, 문제가 이걸 물어보는 사람들은 실수가 뭔지 완비가 뭔지 몰라서 0.999....자체를 이상하게 해석하는 거기 때문에 읽는 사람 입장에서 그렇게 해석을 안하고 딴소리를 하게 되죠. 그래서 빙빙 돌다가 헛소리가 되어버리고요.
좀 더 자세히 말하자면, 완비순서체의 존재성은 본문처럼 유리수열의 completion을 사용하는 model이나 데데킨트 절단을 써서 만들어진 model을 염두에 두면 보장할 수 있게 되는것이죠. 그리고 실수는 추상적인 대상이지만 원소들을 표현하기 위해서 주로 10진법을 사용하는데, 0.999..와 1.000...처럼 같은 원소를 표현하는 표기법이 unique하지 않을수 있다는 단점이 있고요.
결국 0.999...와 1.000...이 같냐 다르냐 논쟁은, 많은 학생들이 중고교 시절에 실수 = 10진법을 써서 무한소수로 표현할 수 있는 수처럼 인식하고 있기 때문에, 0.999...와 1.000...처럼 서로 다른 두 표기가 왜 같은 대상이 되는지 이해를 하지 못해서 발생하는 겁니다. 실제로는 실수는 이미 추상적으로 공리를 만족하는 대상으로 정의가 되어있고, 그 대상은 유리수열을 이용한 model이든 데데킨트 절단을 이용한 model이든 그러한 model에 의해서 존재가 보장받게 되고, 그리고 10진법을 이용한 표기는 그냥 추상적인 대상을 표현하기 위한 표기법일 뿐이니, 그 표현이 unique할 필요가 없다는걸 인식하지 못한 것이죠.
좀 거지같긴 한데 그래도 그런 대수적인 방식이 해석학 계열에서도 도움이 간간히 되니까... order completion method같은 거 있잖아
리버보이 // 아니.. 유리수열을 이용해서 실수를 정의하는건 실수를 정의하는 model 중 하나일 뿐입니다. 실수의 정의 자체는 완비순서체의 공리를 써서 정의가 되고, 그 존재를 보이기 위해서 유리수열이나 데데킨트 절단을 이용한 model을 써서 존재가 보장된다는 겁니다. 예를 들어서 페아노 공리를 만족하는 산술체계가 존재함을 보일때, 그 model로서 집합론적 model을 예로 들지 않습니까..
0.9999...와 1.0000...의 논쟁이 생기는 이유는, 학생들이 실수는 10진법처럼 무한소수로 표현되어야 하는 대상이라고 인식하고 있기 때문입니다. 그래서 0.9999...와 1.0000...은 서로 다른 무한소수로 표기되었는데, 왜 같은 대상을 지칭하냐는 의문이 생기는 것이죠. 이러한 오해를 풀기 위해서 중,고교과정에서 '실수는 이미 추상적으로 특정 공리를 만족하는 체이고, 그러한 체의 존재성은 이러저러한 이유로 보장이 되고, 실수의 완비성 공리에 의해서 실수의 원소를 이렇게 10진법으로 표현할 수 있는데, 다만 표기법이 유일하지 않다는 단점이 있다' 라고 학생들에게 알려주면 좋겠지만, 고교 교과과정에서 다루기에는 지나치단 느낌이 있죠.
그리고 0.99...를 유리수열로 이해했으면 완비성이 필요없고(하지만 저 정의를 잘 보면 완비성이 없는 실수는 쓰레기니까 어차피 증명해야됨) 실수열로 이해했으면 완비성이 필요하지(요). 일단 나는 원래 유리수열로 썼음.(어차피 대동소이한데 굳이 더 어렵게 쓸 필요는 없으니까)
현대 수학에서는 어떤 체계를 다룰때 공리적으로 접근하곤 하죠. 유클리드 기하에서 평행선 공리를 만족하지 않는 다른 기하 체계가 존재하는가? 순서체의 공리에서 완비성 조건을 배제하면 Archimedean property를 보장할 수 없는데, 그 성질을 만족하지 않는 체가 존재하는가? (e.g. rational function fields) 또는 순서체 공리를 만족하지 않지만 complete metric을 부여할 수 있는 체가 존재하는가? (e.g. p-adic numbers) 과 같은 의문들을 던질수 있고, 어떤 대상을 관찰하는데 있어서 에센스를 뽑아서 볼 수 있다는 장점이 있죠. 다만 단점이라면, 추상적이고 비직관적이라는데 있겠죠.
처음부터 실수를 구성적으로 정의한다면, 완비성은 그냥 얻어지는 성질이 되는 것이죠. 저도 이런 구성적인 방법이 직관적이라서 선호하지만, '완비성 ㅇㅈㄹ 하는 애들 헛소리'라는 댓글이 보이길래, 다른 관점을 선호하는 사람들도 있다는 걸 말하려는 것 뿐이었습니다. 수학의 foundation에서 그러한 구성적인 방법을 피하고 싶은 사람들도 많습니다. 예를 들어서 자연수를 구성하는데 있어서 집합론적 모형을 취한다면, 예를 들어서 자연수 42가 어떤 원소들을 가지는가? 와 같은 질문이 별 의미가 없고 넌센스하긴 하지만, 이 경우 자연수가 집합이기에 수학적으로 어긋나는건 아니죠.
처음 수학의 이론을 정립하는 입장에서 원하는 대상이 존재하는 것을 확인하는 게 먼저지 그걸 공리적으로 만드는 게 먼저 진행되는 건 순서적으로 불가능함(1층을 쌓아야 2층을 쌓지...막 저세상에 천국이 있으면 거기 가면 낙원인데 문제는 그게 있는지 몰라 같은 느낌이니까) 그런 관점에서 볼 때 완비성을 공리로 잡고 실수의 존재성을 찾는 건 살짝 unnatural함. 당장 역사적으로도 아마 완비순서체의 유일성을 보이는 것보다는 실수집합을 만드는게 먼저였을 테고, 그럴 수밖에 없는게 뭔가 대상이 먼저 있어야 그걸 갖고 기준을 부여할 거잖아. 그래서 개인적으로는 리버 생각에 동의하긴 한데, 전공이 대수 쪽인 사람들은 생각이 좀 다를지도? 거긴 원래 category같은 거 좋아하잖아
저도 최대한 구성적이고 직관적인 방식을 취하는걸 선호하나, 그렇다고 다른 관점으로 기술할 수 있다는 것을 완전히 배제하는것도 너무 극단적이지 않나 해서 댓글을 달았습니다. ZFC는 잘 다듬어진 체계라고 생각합니다만, 말씀하신대로 ZFC는 set을 써서 기술되어있기 때문에 이러한 수학의 foundation을 현대적인 방식으로 기술하는 다른 대안을 말하시는 분들도 있죠. (물론, ZFC를 아예 대체해야 한다고 주장하는사람은 없다고 봅니다) ETCS나 여러 type theory들이 그렇고요. 저는 이런 관점들이 나름 상호보완적이라고 봅니다.
비구성적 관점의 핵심은 무엇을 가치 있는 성질로 보느냐임. 보통 구성적 관점이 선행된 뒤 그걸로 많이 굴려보고 거기에 있는 알짜배기 보배들을 generalize해서 "성질"이라 부르고 그걸로 비구성적 관점이 탄생하는 거니까 아무래도 비구성적 방법으로 정의된 이론에는 일반성과 아름다움이 더 있는듯?
NBG를 도입하지 않고 ZFC를 고수한다면 실수의 공리를 만족하는 대상들의 class를 생각하고, 실수에 대해서 다룬다고 한다면 그 class의 구성원에 대해서 다룬다고 생각하면 되겠죠. 실수 집합 가지고 구체적으로 뭔가 하겠다면, 결국 그 구성원 중에서 하나를 택해야 할 것이고요. 이런 관점은 학부과목에서도 많이 출현하는데, 단적으로 field extension 같은 개념들은 algebraic closure가 도입되기전에 먼저 소개되고, superfield가 고정되어있지 않는 이상 그냥 up to isom.한 대상들이죠.
지금은 ZFC를 주로 쓰지만, 결국 수학의 foundation이라는게 나중에 어떤 방식으로 변화할지 모르는 것이고, 이런 방식으로 처음부터 구성적인 방식으로 대상을 고정해놓지않고 나름의 융통성을 발휘할수 있도록 남겨두는것도 저는 나쁘지 않다고 봅니다. 물론, 어떻게 구성적으로 존재를 보장할 수 있는지는 당연히 알아두어야겠죠.
단순히 구성적인 방식으로 존재성을 보장할 수 있다는 의의 외에도, 그 아이디어를 확장할 수 있다는 방향도 있으니까요. 본문의 글쓴이가 다른 글에서 언급했던것처럼, 유리수열의 completion에는 결국 극한을 어떤 식으로 정의하고 다룰 것인지에 대한 아이디어가 녹아있고, 학부 위상에서 metric space의 completion, 학부 가환대수에서 inverse limit을 이용해서 대수적 객체들의 completion을 다루거나, nonstandard analysis에서 ultrafilter의 limit을 이용해서 standard universe의 수열들을 이용해서 nonstandard universe를 정의하곤 하니까요.
말씀하신대로 class를 직접적으로 다루려면 NBG가 필요하지만, 이 경우에는 간접적으로 실수공리를 만족하는 set들에 관심을 두는것이지 그 모임에 대해서 뭘 하겠다는게 아니므로, ZFC 만으로 충분하다고 생각합니다. 말 그대로 '실수'라는 용어 대신에 '해당 실수공리를 만족하는 임의의 set'으로 대체하면 되는 문제지요.
앞서 말씀드린 바와 같이, 구성적인 관점에서 대상을 다루는 것은 직관적이라는 점에서 의미를 가집니다. 하지만 단점도 있는데, 대상을 논하는데 있어 정말로 필요한 에센스 외의 다른 정보들도 가지게 된다는 겁니다. 단적으로 자연수들도 집합을 이용해서 페아노 공리체계를 만족하도록 정의가 가능한데, 이 경우 예를 들어서 "숫자 33은 이러저러한 원소들을 포함하고 있다"와 같은, 자연수를 다룰때 있어서 전혀 필요가 없는 정보들도 함께 담기게 됩니다. 그러한 필요없는 정보들까지 지닌 채 정의를 하는것은 바람직하지 않다는 관점들도 있고, 이 경우에는 에센스만 담긴 공리적인 시각에서 바라볼 수 있게 됩니다.
설마 수갤에서 이런 토론이 오갈 줄이야 ㅋㅋ
왜 난 다 모르는 소리들이지 내가 공부를 안한건가
몰라도 수학하는데 지장없음. 다만 저기 쓰인 논법과 접근방식들은 딴 데도 쓰임.
이런건 무슨 수업에서 배우나?
해석학 근데 강의에 따라 안다룰수도 있음
좀 말이 강했다 물론 가능함
저기서 말하는 '공리적으로 만드는'이라는 건 실수의 성질을 추측해놓는 게 아님
그걸 공리로 만들어놓고 존재성을 확인하기 전에 주어진 명제를 그걸로 증명해버리고 그 다음에 존재성을 확인하는 걸 지적한 것임. 뭐 솔직히 문제를 풀거나 얘깃거리를 만들려면 그렇게도 많이 하지
ㅇㅇ 내 생각이 그거임
페아노 공리계는 뭐 별거 없지 않나?/자연수 구성을 하려면 집합론 얘기가 나올 수밖에 없고 그걸로 깊이 들어가려면 나보다 위에 다른 2명한테 듣는 게 나을듯
자연수 정의는 간단하고 인터넷 찾아도 나올텐데 단순히 그걸 궁금해하는건 아닌것같고
1. 공리를 뭘로 줄지가 명확하다면 사실 그렇게 하는 게 나을 수 있는데, 그게 그냥 젠가 하듯이 uniquely exist하는 범위 내에서 조건을 최대한 지워가면서 계속 공리를 고쳐서 얻은 경우들도 많음. 원래 질문과는 상관없지만 지금 이 문장을 서포트하자면 좋은 예로 Euclidean Domain같은 게 있지
2. 나도 책으로 만들 때는 공리적 정의로 가는 게 더 좋다고 생각함.
3. 그러니까 정확히 말하면 난 공리적 정의는 저렇게 좋은 성질을 만족하는 범위 내에서 흥정하듯이 하면서 최대한 간결한 최종형태를 뽑아내는 데 효용이 있지 않은가 생각함(어떻게 보면 새로 만드는 입장에서는 어느 한쪽이 먼저인 건 아니지-닭이 먼저냐 달걀이 먼저냐같은). 근데 이렇게 하려면 아주 간단한 toy version(위의 ED같은 경우에는 N이 그 예겠지)이라도 하나 있어야 뭔가 생각을 해볼 거 아니야 그래서 그냥 그렇게 말해본거임
글을 읽고 궁금해졌는데, 모든 수렴하는 유리수 수열들의 극한의 집합=실수임? 유일한 어떤 수로 수렴하는 유리수 수열의 수렴값들로 실수를 빈틈 없이 전부 매울 수 있나?
어 가능함 애초에 그게 정의랑 거의 동격이지
데데킨트 컷 방식이 난 더 조아 헤헤... - dc App
사실 이 댓글 얘기중에 데데킨트 컷 방식이 더 나쁘다는 얘기는 없음
내가 그쪽 논법을 완벽하게 기억하고 있지는 않기 때문에 그걸 적지 않은 것뿐임
댓글 토론하는거 다 이해하려면 학부 집합론 알아야됨?
난 이거 고딩때 나오길래 고딩들은 다 아는줄알았는데 증명하려면 대학과정필요하네 허미 쉬펄;;
고딩도 무한급수로 증명할수있으오...
영점구땡이 1이아니라는건 지구평평론자들이랑 수준이동급이라는걸 증명한셈이지