토마토나라에 토마토들이 살고 있었습니다!
토마토들은 행복하고 수학을 좋아했습니다!
그러나 비둘기가 자꾸 토마토를 잡아먹었습니다!
토마토들은 비둘기가 무서워 비둘기의 울음소리도 무서워하게 되었습니다!
그래서 수열 An = 1/n = 1, 1/2, 1/3, 1/4, … 에서 분모에 9가 들어간 수를 전부 없앤 비둘기수열(Bn)을 만들었습니다!
즉 비둘기수열(Bn)은 An에서 1/9, 1/19, 1/29, … 이 빠진 수열입니다!
An의 무한급수 ΣAn은 발산한다는 것이 알려져 있는데 그렇다면 비둘기급수 ΣBn의 수렴성은 어떻게 될까요~??
수렴
대충 생각해도 1/1에서 1/8까지 더한거의 10배가 안될거 같은데
일의자리만 생각하면 그런데 9가 십의자리, 백의자리에 들어간거까지 무한히 계속 빠지는거라서 어케될지모르겠는데
분모가 n자리인 분수를 생각하면 전부 1/10^(n-1)보다 작은데 첫자리가 1~8, 다른 자리에는 0~8이 들어갈 수 있으니까 가능한 개수가 8*9^(n-1)이라서 다 더해봤자 8*0.9^(n-1)보다 작으니까 분모가 1자리, 2자리, 3자리 ... 전부 더해도 80보다 작음
내가 다 먹어서 비둘기에게 안 먹힘
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비둘기가 99999 하고 울지 않고 참새같이 짹짹하고 울었으면 수학문제가 안생겼을텐데
수렴!
한 자릿수의 역수들의 합은 9 / 1 이하이고 두 자릿수의 역수들의 합은 9 * 9 / 11 이하이고 세 자릿수의 역수들의 합은 9 * 9 * 9 / 111 이하이고 ...
9 / 1 + 9 * 9 / 11 + 9 * 9 * 9 / 111 + ...은 9 * ((9 / 10)^0 + (9 / 10)^1 + (9 / 10)^2 + ...) 이하인데 9 / 10이 1보다 작아서 비교 판정법에 의하여 수렴해요!
친구가 예전에 낸 퀴즈라서 답을 알고 있었어요!!
이거 윗분 이해가잘안되는데 자세하게 설명해드릴수있나요