e = ∑(1/n!) = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + … 에서
e = n/m 이라고 가정해보자! (n, m∈ℕ)
n/m = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + … 에서 양변에 m!을 곱하면
n·(m-1)! = N + 1/(m+1)! + 1/(m+2)! + … 이다! (N∈ℕ)
이를 정리하면 M = 1/(m+1)! + 1/(m+2)! + … 이므로(M∈ℕ)
M = (1/(m+1)!)×(1 + 1/(m+2) + 1/(m+2)(m+3) + …)
< (1/(m+1)!)×(1 + 1/(m+2) + 1/(m+2)² + …)
= (1/(m+1)!)×((m+2)/(m+1))
< 1 이 성립하는데 이는 M∈ℕ 에 모순이다!
따라서 자연상수 e는 자연수의 분수 형태로 표현할 수 없으므로 무리수이다!
첫번째 식은 어케 성립하는 거에여??
테일러급수
M=... 두 번째 줄 부등호에 등호가 들어가는게 맞지 않나요? 유한합 대해서 더 크다고 무한합에 대해 더 크다고 보장 못하잖아요. 전에 물어보려다 수식이 깨져서 못 물어본 내용인데 일반적으로는 크다가 아니라 크거나 같다고 하는게 맞을거 같아요.
m이 자연수라고 했으니 < 가 맞는 듯해요~ヾ(*'∀`*)ﾉ♡
1/(m+2)(m+3) 보다 1/(m+2)² 가 크고 1/(m+2)(m+3)(m+4) 보다 1/(m+2)³ 가 크고 같은 방식으로 이후 모든 항에 대하여 명백하게 우변이 크므로 <가 맞습니다!
방금 이해했습니다. 친절한 설명 감사합니다. Sn<S'n이지만 limSn=limS'n인 경우랑 했갈렸습니다. 수학적 귀납법을 사용하면 <가 맞네요. 귀납법이야기없이<_을 써도 부등호 < 한번 더 쓰면 되겠네요. 증명여부랑 관계없이 M부분에 !이 없는게 맞는거 같습니다. 오타이신듯합니다.
와 증명도 잘해요~~!