문제가 언급된 모 고닉게이의 글 :

https://gall.dcinside.com/board/view/?id=mathematics&no=333809&page=4

박부성 교수님 블로그의 옛글에 올라온 원본 :

https://pomp.tistory.com/350


위 문제와 동치인 문제임.

심슨 선에 대한 내용은 구글링만 대충 해봐도 나오고 증명도 간략함.

근데 이 문제는 위 고닉게이가 주장하는 논증기하 경력 최저조건이라기엔 좀 많이 어려운 문제인데,

지금의 난 기하 젬병이라 못 풀었지만 어찌저찌 찾아내는 데에는 성공함. 내가 찾은 가장 명료하고 아름다운 풀이는 이거니까 참고.

우선 아래 gif이미지를 통해 현상을 관찰하시길. 붉은 실선과 점선이 교차하는 점이 사실 고정된 점임.

저 빨간 두 직선을 심슨선 기준점을 중심으로 적절히 나선변환하면 위 원본에서 요구하는 정리도 즉시 증명됨.

의외로 구점원과 포이어바흐 점를 쓰는 풀이도 있는데, 그건 아직 내가 읽고 있는 중이다 ㅠ




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Statement)

고정된 외접원과 내접원을 갖는 삼각형들을 생각하자. 외접원상에 임의로 고정된 한 점을 잡았을 때, 이 점에 대한 각 삼각형들의 심슨 선이 하나의 고정점을 공통으로 지남을 보여라.




Lemma1)

네 점 A, B, C, D가 한 직선 위에, 그리고 다른 네 점 A', B', C', D'가 다른 한 직선 위에 있다. 직선 AA', BB', CC', DD'이 한 점에서 만날 때(즉 각 점집합 ABCD와 A'B'C'D'이 서로의 사영변환일 때), 두 점집합의 비조화비는 같다. 즉 (A,B;C,D) = (A',B';C',D')이다.

(사영기하의 가장 기초적인 정리 중 하나. 메넬라우스 정리 쓰면 바로 증명되는데, 갤럼들을 위한 연습문제로 남김.)




Lemma2)

두 점에서 만나는 두 원을 생각하자. 이 두 원에 대한 방멱의 비가 일정한 점들의 자취 또한 두 원의 교점을 지나는 원이 된다. 역으로, 두 교점을 지나는 임의의 원에 대해, 그 원 위의 점들은 처음 두 원에 대한 방멱의 비가 일정하다.

(역시 어렵지 않은 정리 중 하나. 이것도 갤럼들에게 주는 연습문제 선물.)




Proof)


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S에서 내접원 I에 접하게 그은 두 직선이 외접원과 만나는 점을 각각 S1, S2라 두겠음. 그러면 퐁슬레 폐형정리로부터 S1S2 또한 I에 접함. 즉 △SS1S2가 외접원과 내접원을 △ABC와 공유하는 또 하나의 삼각형이 된다는 것.

S1S2에 평행하게 I에 접하는 또 하나의 직선을 잡아, 두 직선 SS1과 SS2와 만나는 점을 각각 D, E라 하고, S에서 DE에 내린 수선의 발을 T라 할 때, 이 T가 곧 심슨 선들이 ABC가 잡히는 위치와 관계 없이 공통적으로 지나는 점이 됨을 보일 거임.


DE가 AB, AC와 만나는 점을 각각 C', B'이라 하자.

S1S2가 AB, AC와 만나는 점을 각각 G, F라 하자.

DE가 AS1, AS2와 만나는 점을 각각 K, H라 하자.

그러면 ∠SDH = ∠SS1S2 = ∠SAS2에서 ADSH가 한 원 위의 점임을 알 수 있음.

비슷한 방식으로 AESK도 한 원 위의 점임도 확인 가능.



한편, IB'과 IF, IE와 IS2, IC'과 IG, ID와 IS1이 서로 수직임을 보일 수 있음(내접원을 갖는 사다리꼴의 사소한 성질 중 하나).

다르게 말해, S1S2를 I 기준 90도 회전변환했을 때 F, S2, G, S1의 변환된 점과 B', E, C', D끼리 짝지어 이었을 때 모두 I를 지남.

따라서 두 점집합 사이 사영적 대응이 있음을 얻고, 곧 Lemma1에 의해 비조화비 보존.


(B',C';E,D) = (F,G;S2,S1) = (B',C';H,K)


비조화비의 정의에 따라 식으로 고치면 이런 느낌.


(B'E*C'D) / (B'D*C'E) = (B'H*C'K) / (B'K*C'H)


이 식과 아래 식은 동치.


(B'E*B'K) / (B'D*B'H) = (C'E*C'K) / (C'D*C'H)


이 식이 곧 원 AESK와 ADSH에 대한 B'과 C'의 방멱값의 비가 일정함을 의미하며, 곧 Lemma2에 의해 AB'SC'이 한 원 위에 있음을 안다.

이미 ABSC가 한 원 위에 있으므로, 종합하면 ABSC, AB'SC', ADSH, AESK으로 정의되는 4개의 원이 A와 S를 동시에 지난다.



점 S에 대한 △ABC의 심슨 선은, 곧 S에서 AB, AC 위로 그은 수선의 발을 이은 직선으로서 결정됨. 한편, S에 대한 △AB'C'의 심슨 선은 곧 S에서 AB'와 AC' 위로 그은 수선의 발을 이은 직선이 되는데, 여기서 AB'=AC, AC'=AB. 따라서 S에 대한 삼각형 ABC의 심슨 선과 삼각형 AB'C'의 심슨 선이 같다. 그런데 S에서 B'C'에 내린 수선의 발이 곧 T고 이 점 또한 심슨 선의 정의상 AB'C'의 심슨 선 위에 있으므로, S에 대한 ABC의 심슨 선은 언제나 고정된 점 T를 지난다. ■




Reference)

William Gallatly, <<The Modern Geometry of the Triangle>>, 2nd ed.