아래 글
에서 댓글에 대충만 설명되어있길래 자세하게 설명해봄



예를 들어 1/(sqrt(2)+1) 의 유리화를 생각해봄.

당연히 분자분모에 sqrt(2)-1을 곱해서 결국 유리화 결과로 sqrt(2)-1을 얻겠네?

결론만 말하면, 분모에 sqrt2가 있는 것보다 유리화한 형태가 수학적으로 다루기 쉬워서 유리화를 시키는 것임. 이제 왜 그런지 간단히 설명해봄.





다른 수학 좀 아는 사람들을 위해, 또 설명을 위해 다시금 결론만 말하면 Q(sqrt(2))=Q[sqrt(2)]인데 좌변보다 우변이 더 다루기 쉽기 때문임

대체 이게 뭔소리냐

정말 간단히만 말하면, 체의 구조 대신 다항식의 구조로 살퍼보는게 편하단 뜻임.

이건 또 뭔 소리냐

정말 간단히만 말하면 유리함수(예로 y=1/x)보다 다항함수가 다루기 쉽다는 것과 연관이 있음. (위에서 분모에 sqrt2가 있는것보다 다루기 쉬워진다고 한 게 이 뜻임)






실제로 학교수학에서의 예시만 들면,
응용 문제들을 풀다보면 '분모의 유리화'를 했을때 계산이 편해지는 경우가 종종 있음. 또 반드시 유리화과정을 해야 풀리는 문제유형도 있음. 이런 문제들이 바로 그런 경우에 속함

아무튼 이러한 이유 때문에 분모를 유리화하는 경험을 일부러 부각시키려고 학교에서 그렇게 배우는 것임.

이제 위의 이유가 납득이 잘 안 가는 사람들과, 호기심이 많은 사람들을 위해, 최대한 쉽게 위의 ' Q(sqrt(2)) = Q[sqrt(2)] '를 설명해봄. (안 봐도 무방함)








유리수 집합을 Q라고 둘 때, Q는 '체'라는 구조를 가짐. 이 구조의 주요 특징 중 하나가, 0을 제외한 모든 원소가 곱셈역원을 가진다는 거임

뭔 말이냐면, 0을 제외한 어떤 수건지간에, 거기에 곱해서 1이되는 수가 다시 Q에 존재한단 뜻임.

예로 3의 경우 곱셈역원은 1/3 임. (3 x 1/3 = 1이니까)
그리고 1/3은 유리수니까 Q의 원소임은 말할것도 없지.

이렇게 곱셈역원을 같은 체 안에서 찾을 수 있는게 특징임.

예로 정수의 집합 Z를 생각하면, 3이라는 정수의 곱셈역원은 위에서 봤듯 1/3이지만 1/3은 정수가 아니지. 따라서 정수의 집합 Z는 체가 아님.






이제 Q(sqrt(2))를 설명하겠음.

이건 뭐냐면 Q와 sqrt2를 포함하는 가장 작은 체라는 뜻임.

유리수들의 집합 Q에 sqrt2만 더한다 해서 체가 되진 않음.
여기에 체를 이루게 끔 다른 원소들도 포함시킬 수 있음.
그런데 체를 유지하면서도 원소를 더럽게 많이 넣을 수 있잖아?
그러니까, 체를 유지하면서 가장 작은 집합을 생각할 수 있음. 그 집합을 말하는 것임.

예를 들어 실수의 집합 R을 생각했을 때,
R은 Q에 sqrt2를 추가로 넣으면서도 체의 구조를 유지함. (sqrt2가 실수인건 알지?)
하지만 이는 Q(sqrt(2))가 되질 못함. '최소의 체'가 아니게 되어버림. (증명 생략)
다만 Q(sqrt(2))가 R의 부분체(부분집합이면서 체)라고는 말할 수 있게 되는거지.




아무튼 이 집합 Q(sqrt(2))의 원소엔 맨 위에 예를 든 1/(sqrt(2)+1)가 존재함. 

왜냐하면 일단 sqrt(2)+1은 저 수의 곱셈역원이잖아? (왜냐하면 영 아닌 수 a에 대해 a x 1/a = 1이니까)

이와 동시에 sqrt(2)과 1은 각각 Q(sqrt(2))의 원소지?

그 둘의 합인 sqrt(2)+1도 Q(sqrt(2))의 원소가 됨
(이것은 체의 다른 성질임)


근데 앞에서, 체에는 곱셈역원이 항상 존재한댔잖아?

그러니까 sqrt(2)+1의 곱셈역원인 1/(sqrt(2)+1)도 저 체 Q(sqrt(2))의 원소가 됨.








이제 Q[sqrt(2)]를 설명하겠음.

그 전에 Q[x]를 살펴보겠음. 이 집합은 쉽게 말해서  '계수가 유리수인 다항식들의 집합'임.

예로 (0.4)x^5 + 2x + 0.098 은 Q[x]의 원소임.
계수가 전부 유리수면서, 다항식인게 보이지?

이제 저 x자리에 sqrt(2)를 넣은것이 Q[sqrt(2)]임.
따라서 (0.4)(sqrt(2))^5 +2(sqrt(2)) + 0.098은 Q[sqrt(2)] 의 원소임.

마찬가지로 x-1 은 Q[x]의 원소이니
sqrt(2)-1은 Q[sqrt(2)]의 원소가 됨.









이제 이 둘을 엮어봄.

Q(sqrt(2))가 아까, Q와 sqrt2를 포함하는 가장 작은 체라고 했잖아?

일반적으로 Q(sqrt(2))의 원소는 분자와 분모에 Q[sqrt(2)]의 원소가 있는 꼴이 전부가 됨.
물론 증명이 필요한 내용이라, 뭔 소린지 이해가 안 갈 수 있음
아래 예시를 보자.



예를 들면,

(편의상 n/m라는 것을
n
ㅡ
m
으로 표현할 때)


3(sqrt(2))^7 + (0.8)(sqrt(2))^3 + 0.27
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
(0.62)(sqrt(2))^3 + 0.52

은 분자와 분모에 Q[sqrt(2)]의 원소가 있으니

Q(sqrt(2)) 의 원소임.
또 역으로 Q(sqrt(2))의 원소는 항상 이런 꼴임




물론 위의 내용은 증명이 필요한데, 이걸 직관적으로 이해해보자.

직관적으로 분모에 저런 다항식꼴 (Q[sqrt(2)]의 원소)이 있다는건, 앞서 설명한 체의 특징인 역원과 관련됨을 알 수 있음.

그러니까 a의 역원이 1/a가 되듯이, 분모에 Q[sqrt(2)]의 원소가 오는 것으로 체 Q(sqrt(2))을 '역원으로서' 표현할 수 있다는 것임. 








그러니까 Q(sqrt(2))는 일반적으로 Q[sqrt(2)]와는 다르겠지?

그런데  한 가지 성질 덕에 놀라운 일이 벌어짐.

Q위에서 sqrt(2)는 '대수적'이라는 성질을 지녀서 저 두 집합이 같아짐!!!! (왜 같아지는지는 여기서 다루긴 너무 어려워서 생략)






참고로 대수적이란게 무슨 말이냐면, sqrt2는 다항식 x^2-2의 해잖아?

그러니까 sqrt(2)가 해가 되는 Q[x]의 원소 즉, 유리계수 다항식이 존재하잖아?

이런 경우 'sqrt2를 Q위의 대수적 원소'라고 칭함.

sqrt2는 Q에는 없지만, Q위의 대수적 원소는 된다는 뜻이지.


(참고로 반댓말이 '초월적'임. 이름에서 눈치챘겠지만, 파이(ㅠ)가 초월수라는건 바로 이 뜻임. 어떤 유리계수 다항식을 가져오건 ㅠ가 해가 되도록 할 수 없다는 뜻임. 증명은 너무 어려워서 생략)











자 이제 드디어 원래 얘기로 돌아와보자.

맨앞에서 분모의 유리화를 통해 1/(sqrt(2)+1)=sqrt(2)-1라고 했잖아?

그런데 위에서 좌변은 Q(sqrt(2))의 원소임을 보였고

다시 위에서 우변은 Q[sqrt(2)]의 원소임을 보였네?

앞서 살펴봤듯이 Q(sqrt(2))의 원소는 Q[sqrt(2)]의 원소가 분자 분모에 있는 복잡한 형태였는데

이러한 좌변(위의 식의 좌변)의 형태가 우변에서는 분모는 1이고 분자에만 Q[sqrt(2)]가 있는 형태, 즉 다항식의 형태로 바뀌게 되었단 뜻임.

그래서 다루기 쉽게 바꾸었다는건 알겠음.




그런데 항상 이렇게 다루기 쉽게 바꿀 수 있느냐? 그건 이미 우리가 위에서 한 내용임 

즉 sqrt2가 Q위에서 '대수적'인 성질을 가지니까

Q(sqrt(2))=Q[sqrt(2)]가 되고, 따라서 항상 저런 소리를 할 수 있게 된다는 뜻임.

그러니까 저런 유리화가 언제든 가능하다는게 결론임.














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참고) 위의 이론은 추상대수학의 내용임.
추상대수학에서 위의 내용을 좀 더 발전시키면 이런 것도 가능함.


편의상 양의 실수 x에 대한 5중근을 f(x)라 쓰면
1/(1+f(2)+f(8)) 의 유리화를 할 수 있음.

이는 위의 내용으로, f(2)가 Q위에서 대수적이기 때문에 (유리계수다항식인 x^5 -2의 근이니까)
Q(f(2))=Q[f(2)]이기 때문에 생긴 결과임.

그러니까 저 복잡한 식을 다항식의 형태로 다룰 수 있게 된단 소리임.

물론 유리화 방법은,

대충 x^5-2 (위에 나온 그 다항식) 과 x^3+x+1 (분모의 형태. 즉 f(2)대신 x를 쓴 것. 즉 Q[f(2)] 와 Q[x]의 관계를 암시한 것)을 이용한 방법이 있는데

너무 복잡해서 생략하고, 유리화 결과만 쓰고 감.
(물론 아래 유리화 결과와 위의 식이 같음은 쉽게 보일 수 있음)
(f(2))^4 - (f(2))^2 - f(2) +1

결과를 보니, 정말로 f(2)에 대한 다항식 형태 (Q[f(2)]의 원소) 가 나옴을 확인할 수 있음.

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체론 아는 사람 위해 좀 더 쓰자면, 위의 유리화 방법을 간단히 소개하겠음.

sqrt2를 편의상 a라고 썼을 때
1/(a+1)을 유리화하는 방법을 소개하겠음.

먼저 위에서 쓴 대로 두 다항식 x^2-2와 x+1을 얻음.
두 다항식의 최대공약수가 1인 점에 착안하여,
유클리드 알고리즘을 통해 1 = (x^2-2)(-1)+(x+1)(x-1)
형태로 정리함
(최대공약수 나왔으니 우변은 x^2-2와 x+1에 대한 적당한 선형결합형태로 정리한게 포인트임)

여기서부터 재밌는데, 양 변에 a를 대입하는 대입 준동형사상을 보내주면, x^2-2부분은 사라지니까 결국 1=(a+1)(a-1)이 됨.
그런데 잠깐 생각해보셈. 결국 1/(a+1)=a-1이 되잖음?
게다가 이런 방식이라면, 어떠한 유리화를 하던 우변은 항상 Q[a]의 원소가 되잖음?

이런 방식이면 바로 위에 쓴 5중근에 대한 예시도 풀 수 있음.
(위에서 뜬금없이 썼다고 느꼈을 대입준동형사상에 대해, 이 대입준동형사상이 Q[x]에서 Q[a]로의 사상이란걸 새삼 써봄. 이제 처음에 왜 저 두 다항식을 얻어서 저렇게 전개했는지 이해할것임)