실수는 완비성이라는 중요한 성질을 가진다. 이 성질을 이용하면 0.9999...와 1이 같다는 것을 알 수 있다.
0.9999... 와 1이 다르다면, 실수는 대소관계를 가지므로,
0.9999... 와 1 중 하나는 다른 하나보다 작아야 한다.
직관적으로 0.9999...가 1보다 작아보이므로 일반성을 잃지 않고 0.9999... < 1라 가정하면
0.9999...보다 크고 1보다 작은 어떤 실수가 존재해야 비로소 0.9999...와 1이 다르다 할 수 있다.
그런 실수는 존재하지 않는다.
이 점을 인정할 수 없다면 10진법에 대한 이해가 부족하거나 극한에 대한 이해가 부족한 것인데 보통 후자일 가능성이 높다.
극한의 개념은 수학 갤러리에 싸질러진 글들을 보며 이해하기 쉽지 않다.
따라서 0.9999... = 1임을 보이기 위해 나눗셈(1/9=0.111..., 9/9=0.999...) 혹 덧셈이나 뺄셈 같은 연산을 사용하며 우회적으로 증명하곤 하는데,
결국 이 또한 극한 수열의 연산이므로 근본적 문제가 해결되지 않는다.(ex. 소수점이 무한개나 있는데 이렇게 계산해도 되나요?)
비슷한 논제로, 아킬레우스가 영원히 거북이를 따라잡을 수 없다는 역설이 있다.
아킬레우스가 거북이와의 거리가 10m, 1m, 0.1m, 0.01m... 아무리 좁혀져도 0에 도달할 수 없다는 논리인데
0.999..가 1에 도달할 수 없다는 것이나 1-0.999... = 0.00...001이므로 다르다는 논리와 같다.
하지만 우리 모두 아킬레우스가 결국 거북이를 따라 잡을 거란 걸 알고 있지 않은가.
이제 자신의 직관이 틀렸음을 인정하고 현실을 직시하자.
3줄 요약
1. 0.999... = 1
2. 모르겠으면 받아들여라
3. 0 = 0 이다.
실수의 완비성에 대한 보충설명: 어떤 실수 a와 다른 실수 b 사이에는 반드시 하나 이상의 실수 c가 존재한다. 수직선을 실수가 촘촘히 메운다는 것과 같은 뜻. - dc App
이건 조밀성아닌가...? 유리수는 완비적이지 않은데 서로 다른 임의의 유리수 a, b에 대해서 a와 b 사이의 유리수 c가 존재하지 않아?
density맞음
다시 말하자면 실수로 이루어진 수직선은 칼로 자를 수가 없음.
아니 시발 완비성 이해하는 새끼 여기 하나도 없으니까 오바하지 마라.
따봉은 함.
실수의 완비성때문에 극한이 잘 정의된다는게 핵심인데 이게 빠졌잖아!!
물론 실수가 완비성을 갖지 않았다면 극한값이 존재하지 않았을지도 모르지. 하지만 그 사실이 완비성이 0.999...=1인 이유를 직접 설명해준단걸 보장하지는 않잖아. 0.999... 자체가 극한으로 정의되는건데 극한의 정의를 빼놓고 이걸 설명하려하면 어떡해? '완비성에 대한 설명을 받아들이지 못한다면 극한 개념을 이해하지 못한 것이다'가 아니라 '극한에 대한 설명을 받아들이지 못한다면 완비성을 이해하지 못한 것이다'가 되어야 순서가 맞지!
쓰고보니까 말이 좀 이상한데 편의상 코시수열에 대해서만 극한을 ε-N으로 정의한다고 가정하고 읽어주셈. 본문의 맥락을 생각해보면 이렇게 생각할수밖에 없는게, 완비성으로 0.999...=1을 설명한다는건 {0.9, 0.99, 0.999, ...}의 상한을 생각하겠다는 말인데 이게 해당 수열의 극한인 이유가 해당 수열이 코시수열이기 때문인거니까.
물론 극한의 정의로 직접적으로 설명하는게 맞지만 그걸로 충분한데도 불구하고 완비성을 끌여들였다는거 자체가 이미 더 나아가서 직관적인 이유를 제시하겠다는 소리니까 ㅇㅇ
음... 만약 글쓴이가 고등학생이라면 얘기가 달라지긴 하겠다. 고등학교에서 가르치는 극한 개념으로는 '걍 점점 커지니까 상한이 극한인게 당연하지!'로 퉁치고 넘어갈수 있긴 하겠네. 아니면 코시수열 대신 단조수렴정리로 설명할수도 있긴 하겠다. 어차피 코시수열의 수렴성이나 단조수렴정리나 극한의 정의와 완비성을 모두 사용해서 증명하는건 맞고, 둘다 직관적이니까. 하지만 그렇다고 해서 이 문제에서 극한의 개념을 등한시하는건 옳지 않다고 봐. 그게 논란의 핵심이니까.
내가 봤을땐 80프로 이상의 사람들이 이미 알고 있으면서 어그로끄는거임
99프로임
애초에 진짜 모르는 좆빡대가리 새끼가 있을리가
0.99.. = 1 이랑 같지 않아.. 명확한데도 그것을 받아들이는 이유가 중간에 아무것도 없다고 생각하기 때문임. 1과 9 사이에 아무것도 없다면 1 = 9 라 할것임.. ㅎㅎㅎ
제논의 역설 아니노