0.999...=1 증명할때
x=0.999... 로 놓고 시작하잖아
근데 0.999... , 그러니까 0.9+0.09+0.009+... 의 극한값이 존재한다는 확신이 없으면 저걸 문자로 두면 안됨
예를 들어서
1-1+1-1+...의 극한이 존재하지 않는데도 이걸 y로 놓아보자
y=1-1+1-1+1-1+...
양변에 1 빼면 y-1=-y, y=1/2가 되는데 당연히 저렇게 나올수 없음
0.999...=1 증명할때
x=0.999... 로 놓고 시작하잖아
근데 0.999... , 그러니까 0.9+0.09+0.009+... 의 극한값이 존재한다는 확신이 없으면 저걸 문자로 두면 안됨
예를 들어서
1-1+1-1+...의 극한이 존재하지 않는데도 이걸 y로 놓아보자
y=1-1+1-1+1-1+...
양변에 1 빼면 y-1=-y, y=1/2가 되는데 당연히 저렇게 나올수 없음
x=0.999... 로 놓는거부터가 0.999...를 하나의 숫자로 받아들이겠다는 전제가 암묵적으로 깔려있는듯. 그거를 어떻게 수로 받아들일수 있는지를 설명하려면 너무 많은 얘기가 필요하니까 생략하는듯한데... 중고등학교 극한에서는 생략된 내용이 너무 많은 듯
무한소수는 숫자가 아님?
허용된 표기로 적을수없으니까
숫자지. 근데 저게 숫자라는거를 증명해내지 못한 상황에서 저걸 숫자라고 간주하고 10을 곱하고 빼고 하는게 잘못이라는거.
ㄴ 순환소수로 0.9땡 = 1/3 유리수로 나타낼 수 있는데 뭔 소리냐 ??
간단히 설명하자면 1/3이 0.333...과 같다는걸 증명 없이 쓰는거부터가 잘못인거임.
0.3땡=1/3이라는게 정말 증명 없이 쓸 수 있는거였으면 양변에 3곱해거 0.9땡=1 이라는걸 한줄로 증명 끝인데 누가 0.9땡=1 증명 갖고 골머리를 싸겠냐. 1/3=0.333도 아니고 0.33333도 아닌데 3을 무한히 늘어놓다보면 둘이 같다는걸 그냥 받아들이는거부터가 직관적이긴 해도 엄밀하지도 않고 무한소수에 대해 잘못 이해하고있는거
결국은 무한소수의 정의로 이어지는 문제인데 무한소수 자체가 정의상 예를들어 0.3땡의 경우 0.3 0.33 0.333 0.3333 이렇게 이어지는 수열의 극한이 되는거고 1을 3으로 계속 나눠대도 0.33333... 이렇게 된다는걸 눈으로 확인할 수야 있지만 아무 증명 없이 1/3=0.3땡이라 할 수 없으며 그렇게 말하는거는 무한소수의 정의를 잘못이해하는거