◈ 0.999...는 1에 한없이 가까워지고 있는가?
아니다.
한없이 가까워지고 있는 것이 아니라
같은 것이다.
0.999... = 1
3 - 2를
무한 시간 동안 계산할까 말까
1이라고 말할까, 말할까, 말할까...
고민하고 있다 치자.
점점 1이라는 확신이 들어간다고 해서
3 - 2의 값이
점점 더 1에 가까워지고 있는 것이 아니라
같은 것이다.
3 - 2 = 1
이것은 인간의 심리 차원의 문제가 아니다.
같은 것과
가까워진다는 것은
다르다.
같은 것과
무한히 가까워진다는 것은
다르다.
대부분
0.999...를 보고
무한히 1에 가까워진다고 착각을 한다.
그래서
무한히 가까워지고 있는 것일 뿐
같은 것은 아니라고 주장을 한다.
아니다.
0.999...는
무한히 1에 가까워지고 있는 것이 아니라
1과 같은 것이다.
수열의 등식 표현 관점
보통
무한등비급수의 합으로 설명을 많이 하는데
나는
단순히
수열의 일반항으로 설명해보겠다.
◆◆◆◆◆◆
좌변은 일반항이고
우변은 제1항, 제2항, 제3항, …을
나열한 것이다.
◆◆◆◆◆◆
첫번째 항:
n=1을 대입하면
1 - 1/(10^1) = 0.9
(소수점 뒤에 1개의 9가 있다.)
두번째 항:
n=2를 대입하면
1 - 1/(10^2) = 0.99
(소수점 뒤에 2개의 9가 있다.)
세번째 항:
n=3을 대입하면
1 - 1/(10^3) = 0.999
(소수점 뒤에 3개의 9가 있다.)
무한번째 항은 무엇일까?
소수점 뒤에 무한개의 9가 있는
0.999...이다.
이제
일반항을 이용하여
무한번째 항을 구해보자.
무한번째 항:
n=∞를 대입하면...
그런데
보통
n = ∞을 직접적으로 대입하지 않고
lim를 동원하여
다음과 같이 전환하여 간접적으로 표현한다.
(※ 일종의 수학적 관습으로도 볼 수 있다.)
즉
결론은 다음과 같다.
무한번째 항:
무한번째 항은
0.999…이며
1이다.
왜 이렇게 되는지는
위의
수열의 등식 표현을 음미하면
알 수 있다.
3 - 2 = 1, 1, 1, …
◆◆◆◆◆◆
좌변은 일반항이고
우변은 제1항, 제2항, 제3항, …을
나열한 것이다.
◆◆◆◆◆◆
첫번째 항:
1
두번째 항:
1
세번째 항:
1
무한번째 항:
1
이제
일반항에 n=∞를 대입하여
무한번째 항을 구해보자.
물론 형식적으로는
lim을 사용할 것이다.
1은
1에
무한히 가까워지고 있는 것일까?
아니다.
1은
1에
가까워지고 있는 것이 아니라
1은
1이다.
결론
0.999…는
1에 가까워지고 있는 것이 아니라
0.999…는
1과 같은 것이다.
결국 리미트의 정의에 의해 n이 무한대로 갈때 1에 가까워지는거니까 1은 아닌거네요
n=∞를 대입하느냐 lim을 이용하여 나타내느냐인데... 후자를 이용하여 나타내니 그렇게 보일 뿐... 실제로는 n=∞를 대입하는 셈입니다.
무한대는 수가 아닌데 어떻게 대입하죠?
...은 수가 아닌데 왜 0.999...이라는 표현을 쓸까요?
그건 표기의 방식인거죠. n=무한대를 대입한다는 수학적으로 명백한 오류가 있는 표현과는 결이 다르지 않나 싶어요
마찬가지로 표기의 방식으로 받아들이면 됩니다.
n=∞를 직접 사용하는 것 보다는 간접적으로 lim을 사용하는 것입니다.
숫자에는 무한개를 표현할 때 ...이라는 생략기호를 동원하듯이 문자에는 ∞를 동원하거나 lim 등을 동원하는 것입니다. --- ...는 받아들이고 n=∞ 혹은 lim을 받아들이지 못한다면 그것은 수학적 표기법에 대한 약속을 받아들이지 못했기 때문입니다.
무한 반복과 가까워지는 것은 다름. 무한 반복은 이미 극한이고 가까워지는 것은 근사임. --- n이 무한대라는 극한값을 가질 때 f(n)은 1이라는 극한값을 갖는 것임.
f(n) = 1 - 1/(10^n)의 무한번째 항이 0.999...인데 n = ∞를 f(n)에 대입하면 f(∞)=1 --- 이것을 수학적 관습으로 lim를 써서 나타낸다는 것임.
삭제 멈췅 ✋✋✋✋✋✋
항상 잘 읽고있습니다
내가 예전에 이 비슷하게 설명을 했는데 어떤애가 입실론 보다 더 작은 수라 정의 또 다시해서 또 논쟁이 됬는데 저 증명 고딩만 되도 아는걸 계속 논쟁한다 이기야 - dc App
되어간다, 즉시 같다 -> 시간을 끌여들였네요, 신선하다.
무한대는 숫자가 아니니까 대입못함 엄밀하게 저설명은 틀림
무한번째 항을 설명하기 위해서 그런거임 ㅇㅇ - dc App
무한번째 항이라는 개념을 이용은 해야겠고 누군가는 직접 무한대를 대입하면 안된다 할 것이고... --- 그래서 간접적으로 lim을 사용하는 것임.
9/9 = 1 = 0.99...
1/9 = 0.111... 2/9 = 0.222... 3/9 = 0.333... ... 에서 패턴 추측하여 --- 9/9 = 0.999...라고 하겠지만 실제 나눗셈을 해보면 몫 1, 나머지 0으로 끝날 뿐, 즉 9/9 = 1 + 0/9가 나올 뿐으로 9/9 = 1.000...이 나오는 셈. 0.999...가 나오지 않음.
6/2 = (2*3 + 0)/2 = 3 + 0/2 = 3.000...
추측과 실제의 괴리...
단순한 패턴 추측은 실제 계산과 괴리가 있으므로 1/9 = 0.111...의 양변에 9를 곱하든가 3/9 = 0.333...의 양변에 3을 곱하여 9/9 = 0.999...로 나아가야 함.
걍 가무한 실무한만 알면 되잖아..
시발ㅋㅋㅋㅋ 확실한건 일단 입실론 델타 논법 자체를 모르는거같은데