◈ 2500년의 시공을 초월한

수열의 혁명적 진화


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바위 - 작시:유치환, 작곡:신촌우왕
https://youtu.be/UfnUYn7zFB4




우리는 지금까지

수열을 다음과 같이 정의하는 것을 보았다.


a(1), a(2), a(3), …, a(n), …


혹은

좀 더 고급스럽게(?)

다음과 같이 정의한다.


a: N → R, n → a(n)


아주 추상적이다.


너무나 추상적이어서

이것만으로는

항을 어떻게 나열할 지,

항 사이의 구분자는 무엇인지도

알 수 없다.


그리고 문제점도 들어있다.


예를 들어

무한수열

1, 3, 5, …, 2n-1, …이라 하자.


항이 50개인 유한수열의 경우

아마도(?)

다음과 같이 나타내면 될 것도 같다.

1, 3, 5, …, 2n-1, …, 95, 97, 99


그러나...

만약 항이 3개인 유한수열이라면

1, 2n-1, 5 (???)


뭐...

아직은 항이 3개처럼 느껴지긴 한다.


그렇다면

항이 1개인 유한수열이라면?


1, 2n-1 (???)


안된다.

이건 항이 2개처럼 느껴진다.


문제가 있음을

직감할 수 있다.


특정한 항들

이를테면

제1항, 제2항, 제3항 등과

일반항은

분명 다르다.


같은 레벨이 아님을

인지하여야 한다.


따라서 다음과 같은 표현들은 잘못된 표현이다.


무한수열:

1, 3, 5, …, 2n-1, …

(잘못된 표현)


유한수열:

1, 3, 5, …, 2n-1, …, 95, 97, 99

(잘못된 표현)


다시 한 번 강조하지만

일반항과

특정항은

레벨이 전혀 다르다.


이에 대한 해결책은 다음과 같다.

2n-1 = 1


좌변에 일반항을 쓰고

우변에 특정항을 나열한다.


만약 항이 3개인 수열이라면

다음과 같이 표현될 수 있다.

2n-1 = 1, 3, 5


항이 무한개인 수열이라면

다음과 같이 표현될 수 있다.

2n-1 = 1, 3, 5, …


이렇게

표현해도 되는 것일까?


된다.

잘 정의된다.


나는 그것을 보일 것이다.


우선...


유한수열과

무한수열의

가장 큰 차이점은

과연 무엇일까?


단지

유한수열 뒤에

, ...을 붙이면

무한수열일까?


차이점은

단지 그것일까?


그렇지 않다.


결과적으로

그렇게 보일 뿐이다.


유한수열과

무한수열은

그 정의 자체가

전혀 다른 꼴임을

보이겠다.





신촌우왕 생각


지금까지의

수열의 정의는

너무나도

추상적이었다.


나는

수열의 정의를

추상적 수준에서

구체적 수준으로

끌어올리고자 한다.


유한수열

2n-1 = 1, 3, 5, 7, 9


무한수열

2n-1 = 1, 3, 5, 7, 9, …


이 둘의 차이점은 무엇일까?


단지

뒤에 붙은

, …

인 것일까?



내가 정의한

유한수열과

무한수열을

이용하여

그 차이점을 보여주겠다.


각각의 정의를 어떻게 하며

어떻게 생략 표현을 사용할 수 있는지

그 과정을 여실히

보여주겠다.


①

유한수열

(항이 5개)

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②

무한수열

(항이 무한개)

a14110ab102eb44e963321619c02f87db774d1e76043c7a1bafbef0c76bb0c7489e09f10ba58f3fba313caf733d7


위

두 가지 차이점을

음미하고

또

음미하라.




수열의 재귀적 정의


등차수열의

재귀적 정의에 대해

들어보았을 것이다.

a(1) = 1, a(n) - a(n-1) = 2 (단, n≥2)


피보나치 수열의

재귀적 정의에 대해

들어보았을 것이다.

a(1) = 1, a(2) = 1, a(n) = a(n-1) + a(n-2) (단, n≥3)


나는

특정한 수열의 재귀적 정의를 하고자 하는 것이 아니라

유한수열과

무한수열의

정의,

바로

수열 자체를

재귀적으로 정의하고자 하는 것이다.


왜냐하면

기존 정의가

너무 추상적이거나

혹은

잘못되어 있기 때문이다.


다음과 같이

'수열의 등식 표현법'을 사용하여

신촌우왕은

유한수열과

무한수열을

재귀적으로

정의하였다.


①

유한수열의 재귀적 정의

(m개의 항)

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②

무한수열의 재귀적 정의

(무한개의 항)

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항을 나열하는 방법,

항 사이의 구분자는 무엇인지 등의

구체적인 정의들이 포함되어 있다.


이것은

피타고라스

이래로

약 2500년의 시공을 초월하여

수열의 혁명적 진화에

이르렀음을 의미한다.