◈ π원주율π 수학(9):
원주율 수열의 수렴 속도
π
=
원주율 수열
다음은
신촌우왕이
원주율을 연구하면서
가장 먼저 만나게 된
'원주율 수열'이다.
f(n)=2nsin(π/2n)
n→∞이면
f(n)→π이다.
얼마나 빨리 수렴할까?
마이크로소프트 엑셀을 이용하여 구해보았다.
(※ 소수점 아래 14자리까지만 구함)
제25항에서
소수점 아래 14자리까지
원주율 값이 정확히 구해졌다.
원에 내접하는
정다각형과의 관계
f(n)=2nsin(π/2n)
f(1) = 2의 값은
반지름 1인 원에 내접하는 정4각형의 면적에 해당된다.
f(2)의 값은
반지름 1인 원에 내접하는 정8각형의 면적에 해당된다.
f(3)의 값은
반지름 1인 원에 내접하는 정16각형의 면적에 해당된다.
f(n)의 값은
반지름 1인 원에 내접하는 정2n+1각형의 면적에 해당된다.
따라서
f(25) ≒ 3.14159265358979의 값은
반지름 1인 원에 내접하는 정226(=67,108,864)각형의 면적에 해당된다.
보는 관점에 따라
느낌이 다르다.
수열의 일반항 측면에서는 빠른 수렴(?)을 보이는 듯 한데
정다각형으로 전환하여 보면 느린 수렴(?)처럼 느껴진다.
일반화
반지름 1인 원에 내접하는 정m각형으로 시작해서
2배씩 늘려간다면
정다각형의 면적에 대한 수열은 다음과 같다.
fm(n)=m2n-2sinπ/(m2n-2)
즉
정4각형으로 시작한다면
m=4일 경우이므로
f(n)=2nsin(π/2n)
m 값을 크게 잡아줄수록
f(n) 값은 더 빠르게
원주율 값에 수렴한다.
이를테면
m값을 적당히 선택한
다음 수열은
훨씬 더 빨리
원주율에 접근한다.
g(n)=2100nsin(π/2100n)
g(1) ≒ 3.14159265358979
(소수점 아래 14자리까지만...)
근데 이건 억까아니냐? sin(pi/4) 구할때 pi의 값은 전혀 안쓰이는데?
ㅇㅇ(116.36) --- 그나마 괜찮은 댓글...
ㄴ 곧 삭제될 댓글입니다.
팩트) 3^nsin(pi/3^n)은 더 빨리 수렴함 급수도 아닌데 수렴 속도를 따지는 게 의미가 없음
O.K. 시작하는 정다각형의 종류, 분할 개수에 따라 달라짐. 위에서는 시작하는 정m각형 관점에서 m 값을 조절하면 훨씬 더 빨리 수렴한다고 써놓았음.
우엉~~ - dc App
신촌우엉~
삭제 또 들어갔네 ㅋㅋㅋ
너 여기에 속박되거라.
그 속박이 너 자신을 해치게 됨을 알게 될 것이다.
신촌우엉아 삭제좀 그만하자 ㅋㅋㅋ
애초에 2^x 대신 x^x^x^x 같이 증가하는게 더 빠른 함수만 넣으면 더 빨리 수렴하는데. 예를들어 x^x sin (pi/x^x) 가 훨씬 더 빨리 수렴하고
그것은 결과적으로 함수의 수렴만 고려할 때 모든 가능한 방법 중에 하나인 것일 뿐이고, 여기에서는 원이라는 모델에서 출발할 경우 필연적으로 만나게 되는 수열을 소개하고 있는 것임.