◈ 원주율 수열에 대한 잘못된 이해들...




z(n) = π× n/(n+1)


인용:

잘못된 인용부분은 파랑색으로 고쳤음.

(https://gall.dcinside.com/board/view/?id=mathematics&no=354688)

"난 예전에 신촌우왕이 이 수열로 어그로를 끌어서 패러디를 한 적이 있다"



평가:

어그로 내용:

z(n) = π× n/(n+1)

"내 관점에서 보면

이 수열은 신촌우왕의 수열보다 더 우아하고 아름답다."

(https://gall.dcinside.com/board/view/?id=mathematics&no=354115)



n→∞에 대한

z(n)의 극한값이 π라고 해서

원주율 π의 구체적인 값이 구해지는가?


No.

π를 모르면

π의 정수부분 3 조차도 구해지지 않는다.


π를 반드시 알아야만

π를 구체적으로 구할 수 있는 경우이기 때문이다.


자꾸

안되는 사례를 가져와서

되는 사례에 대한 반례로 제시하지 말 것.


고정관념을 깨는 글 어쩌고 저쩌고 하는데

전혀 아님.


식이 어떻게 다른 지

식이 무엇을 말하는 지

전혀 이해를 못한 것임.


이런 말도 안되는 글에

현재 추천이 37이다.


글을 게시한 사람.

글에 추천 단 사람들.

부끄러운 줄 알아야 함.





이 영상에도

나처럼 이게 말이 안된다고 지적한 사람이 꽤 있다.


인용:

"먼저 우왕의 식을 반박하기 전에

외국인이 설명한 아르키메데스 방법 영상에 우왕이 제시한 식과 동일한 식이 나온다."



a14531aa063376b660b8f68b12d21a1d27347ade3e


평가:

아르키메데스의 식

a(n) = n·sin(180˚/n)

"sin(π/123)같은건 어떻게 계산할거야?"


신촌우왕이 제시한 식:

f(n) = 2nsin(π/2n)

"동일한 식이 아니며

sin(π/123) 같은 건 f(n)의 경우 등장하지 않으며

삼각함수의 반각 공식을 이용해 값들을 계속 구할 수 있음."


아마도 아르키메데스도

위와 같은 식을 제시한 것은 아닐 가능성이 많음.

(정6각형에서 시작했다면 특수각 60도에서 시작한 것임)


식이 비슷하게 보여도

단지 비슷할 뿐

아닌 것은 아닌 것임.


인용:

"그것이 내 의문이야... sin은 π의해 정의되는데 ;/

테일러 급수를 이용하면 이 문제를 해결할 수 있긴 해.

근데 그걸 이용하려면 라디안으로 바꿔야하지.

그래서 이 영상은 무의미해."


이 긴 내용 중 쓸모없는 내용 다 쳐내면

"이건 계산에 π를 가정하고 있어서 분명하게 쓸 수 없는 식이야."

나랑 똑같은 말을 하고 있다.

왜그럴까?


평가:

sin(π/2n) 값 계산에는

테일러 급수가 필요없음.


특수각에 대한 반각 공식을 사용해서

계속해서 삼각함수의 값을 구할 수 있기 때문임.





sin(π/4)의 비밀




π/4의 값이

구체적으로 어떤 값인지 몰라도

sin(π/4) = 1/√2임을 구체적으로 알 수 있음.


즉

π/4를 이용하지만 이 값을 구체적으로 알 필요가 없고

엄밀하게는

sin(π/4) = 1/√2를 이용하는 것임.


이것과

반각 공식을

연속적으로 사용하는 것임.





아르키메데스는 삼각함수를 쓰지 않았다.


인용:

"아르키메데스는 피타고라스 정리를 이용해서 π의 값을 구했다.

그렇기 때문에 전혀 문제가 없다."


평가:

맞다.

sin, cos, tan 함수를 이용하는 순간

피타고라스 정리를 이용하여 구한

각 변의 길이의 비를 이용하는 셈이 되므로

sin, cos, tan 안에 π가 들어있지만

sin, cos, tan로 감싸는 순간

피타고라스 정리를 이용한 것으로 전환이 되는 것이다.




아 참고로 수열 계산할 때

π값이 전혀 안 쓰인다는 의견이 있는데

그건 "특수각"이니까 그런거다


인용:

"신촌우왕도 이를 의식하고 있었는지

sin(π/2), sin(π/4)만 예를 들고 나머지는 들지 않았다.

어디 π값 안쓰고 sin(π/123) 구해봐"


평가:

f(n) = 2nsin(π/2n)에

자연수 n을 대입했을 때

분모가 123이 나오지를 않음.


계산이 되도록 만든 경우를 반박하기 위해

불필요하게 자꾸 다른 경우를 가져오지 말 것.


sin(π/2), sin(π/4)만 예를 들고 나머지는 들지 않은 이유는

그 후에 sin(π/123) 같은 게 등장해서

그 후의 경우를 회피하기 위한 것이 아님.


다시 말하지만

sin(π/123)은 등장하지 않음.


특수각에 대한

반각 공식이 계속 적용되는 것임.





비에트 공식 유도


인용:

"그리고 이걸 통해서 추가로 생각해볼점은

왜 원주율을 구할 때 그냥 수열이 아닌 무한급수를 사용하는지에 대한 것이다."



평가:

이미 그렇게 하고 있음.


급수형태의

비에트 공식 또한 유도해 놓았으니

과정을 잘 참조할 것.

(참고: 사용한 공식은 본질적으로 f(n) = 2nsin(π/2n과 같은 공식에 해당되는 것임)


어떻게 해서

π를 사용하지만 π를 알 필요없이

길이의 비로 전환되어

급수로 표현되는 지 이해할 것.


신촌우왕의 비에트 공식 직접 유도:

(https://gall.dcinside.com/board/view/?id=mathematics&no=353497)





인용:

"아 그리고 신촌우왕이 추가 반박 달리면 걍 반박 안함 내가 진걸로 간주하셈"


평가:

"잘못된 내용으로 더 이상 반박 안했으면 좋겠음."

"진 것으로 간주하는 게 아니라 진 것임."