성경은 다음과 같은 구절로 시작함.

"태초에 하나님이 세상을 창조하시니라"


모든 수학의 (표준적) 스타트 포인트라고 할 수 있는 ZF 공리계는 다음과 같은 공리로 시작함.

"어떤 원소도 갖지 않는 집합 ∅ 이 존재한다."

상상력 부족한 수갤러들을 위해 뽕차게 설명해보자면, 한마디로 '태초에는 아무것도 없었다' 는 거임.


하지만 그렇게 선언한 순간, '아무것도 없다' 라는 개념이 존재하게 되었으므로

그 하나의 개념으로부터 모든 수학적 객체를 쌓아올릴 수 있음.

(물론 이 공리를 말하기 전에 상등같은 관계나 합집합, 교집합 등의 연산, '큰 집합' 등을 보장해주는 공리가 여러개 필요하지만 그건 뽕이 안차니까 알고 있다고 치자.)




여기까진 뽕팔이용 개소리였고, 수학이나 해보자

먼저 공집합을 0으로 정의함


0=∅


X 가 집합이면

F(X)= X ∪ {X}

이 함수에 계속 넣을거임


예를들어 공집합을 넣으면 이런 애가 나옴.


F( ∅ ) = ∅ ∪ {∅} = {∅}


얘를 1이라고 정의하자.


1= {∅} = {0}


한번 더하면


F( {∅} ) = {∅} ∪ {{∅}} = { ∅, {∅} }


이런애가 나오는데 얘를 2라고 정의함


2= { ∅, {∅} }


한번만 더하자.


F( { ∅, {∅} } ) = { ∅, {∅} } ∪{ { ∅, {∅} } } = {∅, {∅}, { ∅, {∅}}}

3={∅, {∅}, { ∅, {∅} } }


여기서부턴 복잡해서 알아보기 어렵지? 잘 쳐다보면 이렇다는걸 확인할 수 있을거야.


3 = { 0, 1, 2 }


위에서 쓴 식들을 이렇게 보기쉬운 형태로 나타내면

0 = ∅

1 = F( 0 ) = {0}

2 = F( 1 ) = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0,1}

3 = F( 2 ) = 2 ∪ {2} = {0,1} ∪ {2} = {0,1,2}

.....



즉, 이 과정을 반복하자는것은, 0,...,n 까지 n+1개의 자연수가 정의되어 있을 때,

그 시점에 존재하는 n+1명의 자연수 친구들이 질펀 야스해서 n+1을 만들어내겠다는 소리임


n+1 = { 0,1,2,3,......,n }


이러한 귀납적 행위를 무한히 계속하여 얻은 것이 집합임을 보장하기 위해, 우리는 수학적 귀납법을 보증하는 공리인 Axiom of infinity 를 인정해야함. 인정했으면 자연수 집합을 얻은거임.


N={0,1,2,3,......}


(참고로 위에서 사용한 F 라는 함수가 바로 페아노 공리계의 'successor(다음 수)' 를 의미하는 것임.)


이럼 끝임.

진짜 자연수를 얻기 위해선 +,×를 '잘' 정의하고 결합,교환법칙 증명등의 작업 등이 필요하지만 그냥 귀찮은 귀납법 연습문제에 불과하고 진짜 중요한건 저게 끝임.




뭘바래

아니 시발 권위에 찌든 수학 정공자 새끼들 그냥 자연수 존재하면 그걸로 써먹으면 되지 뭐하러 이 개지랄을 떠노?




ㅇㅇ 맞음. 고작 자연수를 만들기 위해서 ㅇㅈㄹ하는건 수지타산이 안맞지.

이 방법이 존나 개쩌는건, 위에서 사용한 함수


F(X)= X ∪ {X}


에 있음.


이새끼가 0 을 쌓아올려 자연수를 만들 수 있게 해줬잖음?

사실 공집합보다 대단한 새끼가 얘임.

스폰지밥에 나오는 마법의 소라고둥마냥 아직은 존재하지도 않는 다음 숫자를 가르키고 있는 예언자 같은 놈이거든.



근데 우리가 방금전에 뭘 만들었음?

자연수 집합 N={0,1,2,...} 를 만들었잖아?

관습적인 이유로, 이 집합을 잠시 다른 기호를 사용해서 나타내보자


ω를 사용하는 이 표기는 "정해진 수에서 1씩 커지도록(well ordered) 귀납법으로 만든 첫번째 집합이다(first transfinite ordinal)" 를 강조할 때 사용됨.


ω = {0,1,2,...}


기호만 바뀐거고 실제로 바뀐건 아무것도 없음.

얘도 F에 넣을 수 있지 않을까? 다시말해서, ω의 다음 수를 정의할 수 있지 않을까?



F( ω ) = ω∪ {ω} = {0,1,2,....., ω}



우리는 얘를 ω+1 이라고 부를거임.


ω+1 = {0,1,2,....., ω}




존나 개쩔지 않음? 무한 너머를 세어가고 있는거임 ㄷㄷ




F( ω+1 ) = (ω+1) ∪ {ω+1} = {0,1,2,....., ω,ω+1}

ω+2 = {0,1,2,....., ω,ω+1}



ㄹㅇ 개쩌는사실 : 이걸 여러번 할 수 있음 ㅋㅋㅋㅋㅋ


ω = {0,1,2,...}

ω+1 = {0,1,2,....., ω}

ω+2 = {0,1,2,....., ω,ω+1}

...

ω+k = {0,1,2,....., ω,ω+1, ... , ω+(k-1)}


ㄹㅇ 개쩌는사실3 : 여기다 귀납법을 끼얹으면 존나 무한히 할 수 있음 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ


ω

ω+1

ω+2

....

....

ω+k

....

....

ω+ω = {0, 1, 2,....., ω, ω+1, ω+2, .....}


우리는 얘를 귀납법 두번 써서 만든 집합이라서 2ω = {0, 1, 2,....., ω, ω+1, ω+2, .....} 라고 씀.




그 다음은 뭐겠음? 또 '다음 수' 해버리면 되는거임.


2ω+1 = {0, 1, 2,....., ω, ω+1, ω+2, ....., 2ω}

2ω+2 = {0, 1, 2,....., ω, ω+1, ω+2, ....., 2ω, 2ω+1}

....

2ω+k = {0, 1, 2,....., ω, ω+1, ω+2, ....., 2ω, 2ω+1, ..., 2ω+(k-1)}

....

3ω = {0, 1, 2,....., ω, ω+1, ω+2, .....,2ω, 2ω+1, 2ω+2, .....}

....

4ω

...

5ω

....


얘들을 다 통틀어서 Ordinal number 라고 함.

원소나열법으로 나타냈을 때, '...' 으로 끝나는 애들, 예를들어 2ω, 7ω 이런 애들을 limit ordinal 이라고 하고

그렇지 않은 애들, 예를들어 2ω+1 처럼 마지막에 '...' 이 안붙는 애들을 successor ordinal 이라고 함.


귀납법이 존나 개쩌는 이유가, 귀납법을 귀납적으로 반복하는것도 귀납법이거든?

뭔 개소리냐고? 저거 계속해서 이거 만들 수 있다고.


ω² = ωω = {0, 1, 2,....., ω, ω+1, ω+2, .....,2ω, 2ω+1, 2ω+2, ....., 3ω, ..., 4ω, ...., kω, ....}



천벌천그럼 ωω 도 만들어짐?





더갖고당근빳다죠 쉬발





22afd42febd334e87eb1d19528d527033c1e217143e7


이런것도 되는데 뭘




한줄요약 : 수학자들도 뇌절 존나 한다