애미터진 고아새끼 ∈ {부기우와 추종자 컨셉잡는 분탕충 새끼}

존나 간략하게 쓴다

1. 역사
극한이란 것이 처음 등장한 시기는 아르키메데스로 추정된다(구분구적법)
이후 처음 극한이란 것을 정의하고 사용한 것은 세인트 빈센트라는 사람인데 기하급수에 대해 다루며 소개했다고 한다 - 영문위키 극한 문서
이후 볼차노가 현대의 극한을 처음 정립했으나 그가 살아생전 이 업적을 인정받진 못했고 거의 동시기에 코시가 엡실론 델타 논법을 형식화 했다 - 영문위키 극한 문서

2. 극한의 정의
보통 고교에서 점 a에 대해 x가 한없이 다가갈 때의 f(x) 값이라고 표현한다
직관적으로 와닿는 표현이지만 사실 이는 큰 문제를 야기한다
왜냐하면 1. 한없이 2. 다가간다 라는 표현이 모호하기 때문이다
어디까지 가까우면 한없이 다가갔다고 할 수 있는가? 차이가 0.000001이면 한없이 다가간건가? 그럼 0.0000005는 전자보다 가까운데 이건 한없이 한없이 가까운 것인가?
실제로 이러한 문제로 인해 오일러가 바젤 문제를 풀었다고 했으나 다른 수학자는 다른 결과를 얻곤 했다고 한다 - 옛날에 본 책이라 출처 기억 안남

예시로 함수 하나를 들어보자 유리수에서는 0 무리수에서는 1을 함숫값으로 갖는 함수에 대해 0+10^-5555 * sqrt(2)에서는 극한값이 1이된다 10^-5555는 정말정말 정말 작은 숫자니 분명 한없이 다가갔다고 말할만 하다
하지만 0+10^-55555에서는 극한값이 0이 된다
충분히 가깝지 않아서 그렇지 앞으로 0일거라고 말하기엔 어떤 유리수를 가져와도 그보다 작은 무리수를 찾을 수 있다 물론 반대도 마찬가지다
벌써 한없이 가깝다란 말이 이상하지 않은가?

이것을 계기로 학부 해석학에서 배우는 극한의 정의가 등장한다
우선 정의부터 하고 시작하자

"함수 f:R to R에 대해 x=a에서 극한이 L이다 iff
어떤 양수 e를 가져오더라도 다음 문장을 성립하게 만드는 양수 d를 찾을 수 있다. : 0 < |x-a| < d면 |f(x)-L| < e"  - 애벗 해석학 입문, 한빛출판사 역

3. 그래서 이게 뭔데
말이 길지만 천천히 뜯어보자
어떤 양수 e를 가져오더라도 다음 문장을 성립하게 만드는 양수 d를 찾을 수 있다
한 번에는 머리에 안 들어 오는 문장이다 그러니 반대로 생각해서 극한이 존재하지 않는다는 걸 보이려면 저걸 어떻게 응용하여 보여줄 수 있을지 생각해보자

극한이 없다는 걸 증명하려면 특정 e에 대해선 d를 절대 찾을 수 없다는 걸 보여주면 되겠다 라는 생각이 들었다면 올바르게 생각한 것이다

그리고 이게 전부다
어찌보면 너무나 간단하여 더 어려운 개념이다
정리하자 a에서 극한이 L이라는건 a에 대해 e의 공격을 방어해줄 d를 찾는 게임이다

예제1 f(x)=1이라고 하자 x=1에서 극한이 1임을 증명하라
풀이) 양수 e에 대해 d=1이라고 두자 |x-1|<d=1이면 |f(x)-1| = |1-1| = 0 < e다
그러므로 x=1에서 극한값은 1이다

예제2 f(x)=1이라고 하자 어떤 점에서도 극한은 0이 아님을 증명하라
시도) e = 2에 대해 d=1이라고 두자 위의 계산과 유사하게 하면 |f(x)-0| = 1 < 2
아하 e=2일 땐 d를 찾을 수 있군 그러면 보자 f(x)-0 은 항상 1이니까 e를 1보다 작게 혹은 같게 잡는다면?
풀이) 극한이 존재하며 값이 0이라 가정하자 특히 e = 1에 대해 d를 찾을 수 있다
그러면 |x-a|<d 일 때 |f(x)-0| = 1<e = 1이 성립한다
그러나 x = a+d/2에 대해 실제로 x-a = d/2 < d지만 1<1이 되어 명제가 거짓임을 얻는다 이는 모순이므로 어떤 점에서도 극한은 0일 수 없다

예제 풀이는 이해했는데 이게 다가간다는 개념을 수학적으로 정립했다고 할 수 있는가? 라는 생각이 들 수 있다
이는 그림을 그리면 쉽게 이해할 수 있다

1ebec223e0dc2bae61abe9e74683776d37540561f9159f8b1a25da3dbb055b902e02132c934fd65ddd9d25f099eafdb1b0ea866d98a438

이 그림에서 e를 더 작게 만들면 어떻게 될까?
그러면 저 d-구간의 가운데 즉 a와 한쪽 끝에서 함숫값의 차를 구하면 e안에 들어갈 수가 없음은 분명해보인다
이를 피하기 위해선 d를 더 작게 만들어서 다시 들어가게 해야한다
결국 x와 a의 차가 점점 작아질 것이고 x는 마치 한없이 a에 가까워 지는 것처럼 보인다
이 정도면 충분히 위에서 말한것을 구현했다고 보이지 않는가? 뭐 동의할지 말지는 당신 자유지만 수학계는 이것을 표준적으로 받아들이기로 했다
그럼 비표준도 있냐? 라는 말을 할 수도 있다 답은 있다 비표준 해석학이라고 한다 하지만 글의 주제에서 벗어나므로 설명하진 않겠다

여기서 우리 고아새끼들은 이런 질문을 던지며 한 지점의 값이 아니라고 딸딸이를 칠것이다
저 양쪽의 차이를 구한다는게 두 점을 쓴것이지 않냐? 니가 한 지점에서 구한다며?
양쪽의 차이를 구하기 위해 x와 a를 쓴것은 분명 사실이다 그러나 착각하고 있는것이 있다
x는 "고정된" a와 d에 의해 튀어나온 완전히 임의의 점이다
즉 a에 아주 가까운 어떤 점이 전혀 아니고 a로부터 유도한 것이다
즉 x 자체는 아무것도 말하지 않고 말해줄 수도 없다 오직 a, e, d만이 이 함수의 행동을 말한다
그런데 심지어 e도 임의고 d도 e에 따라 잡는 것이므로 한 점이라고 말할만한 것은 a하나 뿐이다

이를 다르게 말하면 극한의 값이 L이란 것은 a로부터 d 내에 있는 x들에 대해 생각하면 f(x)들은 L과 기껏해야 e정도 밖에 차이가 나지 않는다는 뜻이다
즉 극한값이란 놈은 "한 점"의 근처에 대한 이야기를 하는것이다

이러면 한 점의 성질이란 점이 좀 더 명확해 보인다

그러므로 애미터진 부기우는 시급히 자살하기를 바란다
혹여나 그래서 극한이 미분이랑 뭔 상관이냐? 라는 말을 하며 우길 것이라면 미분의 정의나 찾아본 이후 제발 더 빠르게 자살하길 빈다

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