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이번엔 제논의 역설을 예로 들어 기하학으로 뉴턴역학 상대론 완전론을 쉽게 이해해보죠.



1. 뉴턴역학


아킬레스가 핸디캡을 가지고 10미터 뒤에서 출발하는데 거북이가 1미터 이동하면 아킬레스는 10미터를 이동하고


거북이가 0.1미터를 이동하면 아킬레스는 1미터를 이동하고 하고 그런식으로 계속 반복 될 때 결국 그 거리의 비율이 계속 유지되므로


아킬레스가 거북이를 따라잡는게 불가능하다고 제논은 주장했죠. 그런데 흥미로운 점은 그 유지되던 비율이 만약 거북이와 아킬레스가


같은 위치가 되어버리면 깨져버린다는 것이죠. 나중에 설명하겠지만 사실 유지되던 비율이 깨진다는 것은 매우 이상한 일입니다.


그런데 시중에 잘 알려진 제논의 역설의 해법은 뭘까요? 바로 시간이란 개념을 도입하는 것입니다.


결국 아킬레스와 거북이가 서로 속도가 다른 등속운동을 하고 있다고 본다면 둘이 같은 지점이 되어 그 계속되던 거리의 비율이


깨지더라도 같은 지점에서 서로 다른 속도인 것만 확인되면 된다는 것이죠.



2. 상대론


상대론의 경우는 위를 그럼 어떻게 설명할까요? 사실 유지되는 비율이 그냥 깨지기만 한다면 그것은 대칭성에 위배되는 결과입니다.


결국 둘이 같은 위치가 될 때 유지되던 비율이 깨진다면 그에 따른 보상이 있어야 한다는 것이죠. 그게 바로 상대론에서의


길이수축입니다. 예를 들어 비율이 계속 유지되어야 한다는 공리를 설정했다면 둘이 같은 위치가 될 경우는 특이점이 되어버립니다.


그리고 같은 위치가 되면 손해(?)보는 쪽은 더 빠른 등속운동중이었던 아킬레스가 됩니다. 따라서 이런 특이점 문제를 해결해야하므로


그 비율이 계속 유지 되게끔 더 빠른쪽에 길이수축의 보너스를 주면 된다는 것이죠. 그 방식이란 쉽게 말해서


어떤 위치에서 둘의 길이차이는 0.0000000001이어야 하는데 0.0000000001이 아킬레스에게 보정값으로 주어진다면 둘은 결국 같은


같은 위치에 있을 수 있게 되죠. 결국 아킬레스가 정지하면 사라지는 0.0000000001이지만 달리고 위와 같이 등속운동일 경우에는


더 빠른쪽에서 보정값을 받는 다는 것이죠. 이런 설명의 장점은 빛의 속도를 공리로 하지 않더라도 상대론적 설명이 가능하다는 겁니다.



3. 일반 양자역학(완전론)


양자역학의 경우도 결국은 길이수축이지만 변화가 불연속이라 가정되고 속도가 없기 때문에 질량의 증가로 길이의 보정을 받게 되어


같은 위치에 위치할 수 있게 되죠. 즉, 질량의 증가가 길이로 보정받는 다는 것의 의미가 길이(공간)이 질량으로 전환된다는 것이죠.


그런데 이번 설명에서 주목해야할 것은 어떤 비율이 차이가 날 때는 보정값이 필요하고 차이가 안난다면 보정값이 필요가 없다는 점입니다.


쉽게 0을 중심으로 양쪽에 1만큼의 길이가 있다고 해보죠. 그럼 절대값만 따지면 둘이 동시에 0이 되어버리면 등가교환(?)으로 대칭성이


성립합니다. 그럼 이제 어떤 직각삼각형이 3 : 4 : 5의 비율을 같는다고 해보죠. 그 비율을 제곱을 하면 9 : 16 : 25의 비율을 갖고요.


그런데 그 삼각형의 넓이가 0으로 수축된다면 제일 손해보는 것은 제일 길었던 빗변이 됩니다. 물론 제곱되면 제일 이득이지만요.


또 파이값은 원둘레와 지름의 비인데 어떤 원이 0으로 수축되면 원둘레는 항상 손해를 봅니다. 또 더 커질수록 더 이익을 보죠.


이런 비율의 차이도 마찬가지로 0이 되었을 때 보존이 되어야 합니다. 결국 결론은 그 비율의 차만큼 보정값을 받는 다는 겁니다.


즉, 전자가 원자핵에 가까워질수록 에너지를 방출하고 멀어질수록 에너지를 얻는 것처럼 말이죠.



4. 0.9땡


0.9땡의 해법은 결국 시간차원을 빼는 겁니다. 즉, 0.9에 0.09를 더하고 0.009를 더하고의 반복을 한다면 즉,


미분에서 엡실론 델타를 쓰기전에 사용되었던 다가간다는 개념을 쓴다면, 다시 말해서 시간이 걸린다고 생각하면 그런식으로는 1이 될 수 없죠.


하지만 그냥 0.9999999999999999999999... 의 상태라고 가정하면 1인겁니다. 결국 시간차원을 더하거나 빼면서 문제가 해결되고 문제가


되기도 한다는 것이죠.


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