수학갤에는 처음 글써보는거임. 
배운지 오래되기도했고 간략하게 리마인드를 위해 쓰는거라 틀린부분있으면 지적 부탁드립니다 수갤형님들. 

테일러급수

쉽게 말하자면 어려운 함수를 계산하기쉽게 무한급수로 근사하는것임

그래서 어려운함수가 뭐냐고?

우리가 고등학교때부터 배우는 함수들 (지수함수 로그함수 삼각함수 등)부터 학부에서 배우는것들(쌍곡함수 역삼각 등)이 초월함수임. 다항식으로 이루어진 함수가 아니면 초월함수라고 생각하면 편해. 

테일러급수는 이런 계산이 어려운 함수를 우리가 다루기 쉬운 
’다항함수‘로 바꿔주는거지. 

그러면 이런 말을 하는 게이들이 있을거야

“지수 로그 삼각함수를 누가 계산을 못하노 ㅋㅋ”

맞는말임. 근데 물론 얘네는 계산이 쉽지만 더 나아가서 이런애들이 서로 곱해진형태나 복잡하게 섞여있으면 계산이 좀 힘들겠지? 또는 실제로도 계산이 어려운 함수가 있을수도 있겠고?

테일러급수는 이런 복잡한 애들을 우리가 다루기 쉽게 바꿔준다는점에서 의미가있어 실제 사용 예는 나중에 설명할게. 

??? : 그래서 테일러급수는 어떻게 구하는데?

간단해. 증명없이 구해볼게

어떤 함수 f(x)를 테일러 전개할 수 있다고 쳐보자.

그럼 이 f(x)는 이렇게 표현이 될거야

7ce98772b5821bf523ea83e7309c701ef348549fa0f651430ded33c787ede5cdeb51e5e7261c46893cf4afc466ad0795509582

뒤에 … 은 테일러전개가 무한급수기때문에 그런거고. 

이 함수 f(x)에 0을 넣으면 어떻게 될까?

쉽지? f(0)=a0 가 되겠지

이번엔 이 함수를 한번 미분해보자구

7dec8173bcf41af123ec80e1459c7019d6bedd2d840ce6212d688f9096d98f6939932e5efdc9eb5f70db952d1d28c1f52941ff

간단하지? 똑같이 이 미분한 함수에다가 0을 넣어보자. 

그러면 f’(0)=a1 을 얻을수 있을거야

이짓거리를 또 반복해보자고. 

f’(x)를 미분하면

099cf17fb2801bf5239df4ec459c7068ad2677c33364677a325ffc81782d345b1ca3032a428543c549f27fd1b3073b5911bc78

위 식을 얻게돼. 

다시 여기다가 0을 넣어보면

f”(0)=2a2를 얻게 되겠지?

계속 미분해서 0을넣고 또 미분해서 0을 넣어보고…

계속 반복하면 규칙을 찾을수 있을거야

78e8f505c6826ff723ea80e7429c706e3b4ae5cf0c018ac9e88abd9b54f1cd417ede6b2ccabd08542317c120d74c0a48a70b

짤과 같은 관계식을 얻을수 있겠지? (f위의 (n)은 n번 미분했단 의미)

??? : 그래서 이걸 왜 구한건데? 

이제 써먹을라고 구한거임 ㅋㅋ

위 짤의 식을 an에 대해 풀어보면 다음을 얻게 돼

7bee8702c6f76e8423e880e6359c706b134dae04e13f9b78eb87b9133ad5766cf6eb408bd3a381c64c0106dc4f78924b7b1e

간단하지? 양변을 n!로 나눠주기만 한거임 ㅇㅇ

딱 보이지? 우린 바로 일반항을 구한거야

75eaf405b4856cf7239a86e2379c706f66bd77612d42274cac5a2819b4692186e04468f7fdab132a82d6f0dc053f4e54497533

이 식 기억해? 바로 f(x)를 테일러전개한 식의 일반항을 구한거임!

그럼 끝난거지ㅋㅋㅋㅋ

이 식을 좀 더 간단하게 Σ로 표현해 볼게. 

7be5f272c3f01984239c85e0349c706cd982421c3aa68fcdaca403e71c235d70b3488f94cd0776075703ebe81efab749f8e2b0

(글씨체가 달라진거같으면 기분탓) 식이 보기 쉬워졌어. 

우리는 위에서 an을 구했지? 그걸 Σ로 나타낸 식에다가 넣어보자구. 

7998f577b08069872399f3e1469c706c197948cd9472c0d349fa8f625359879079c1a445059678e8dc522cfd709df4f41c9d5f

다 끝난거임. 이건 x=0 에서 전개한 테일러 급수의 일반항이야. 

이 함수가 수렴하는지 여부는 나중에 알아보고 (비율판정법 등을 활용하면 쉽게 알수있음)

0에서 테일러전개한 급수는 특별히 ‘매클로린 급수’ 라고 불러. 
즉 우리가 구한건 매클로린 급수지. 

일반적인 점에서 전개한 테일러 급수의 일반항은

7a9ef605b0801aff23ee87ec339c706f44bf983f5803b5474bd7369dde8c3688fb646082f6402f974b18e7e9a561b18048ba8f

이렇게 표현이 돼. 구하는방법은 간단함 ㅇㅇ

이제 이런 궁금증이 들거야.

“그래서 이걸 어따써먹노?”

일단 당장 너가 갖고있는 공학용계산기로 π나 e값을 구해봐

그 값을 구하는 원리가 테일러급수임

지수함수 e^x를 테일러 전개해서 거기다가 1을 넣는거지. 

또 물리학과나 공대다니는 수붕이면 알텐데

진자운동 문제에서 작은 각도일때 sinθ를 θ로 근사하는게 
sinx=x-x^3/3!+…이렇게 근사되기 때문이야. 

테일러급수는 상당히 자주쓰이고 문제풀때도 자주나오니 알아두면 좋아. 

e^x  sinx  cosx 
위 세 함수정도는 태일러전개의 식을 외워두면 좋아




처음글써보는거라 가독성이 떨어질수도있어 
도움이됐다면 추천 부탁해
반응 좋으면 또 글 써볼게

-물리학과 2학년 마치고 입대한 현역 병장이

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