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수학 문제

[암살교실] 2기 12화 마지막 수학 문제 풀이



Cubincub

2020. 4. 7. 21:21

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[풀이 요약은 글의 마지막 부분에 있습니다.]


최근 코로나 사태로 인하여 외출 빈도가 급격히 낮아져 집에 있는 동안 심심풀이로 애니메이션 [암살교실]을 다시 보게 되었습니다. 다시 보니 상당히 오글거렸지만 재미있는 부분도 있는지라 열심히 보고 있던 중 2기 12화에서 카르마와 아사노의 수학시험에서의 최종 대결에서의 승패를 가르는 수학 문제에 눈길이 갔습니다.



[한국어로 번역한 문제입니다]

과거에는 애니메이션의 내용에 정신이 팔려 문제는 그런가보다 하고 넘어갔지만 다시 보는 입장에서 문제를 풀어보고 싶어 인터넷으로 한글 번역을 찾아보았습니다. 과연 두 천재의 마지막 대결의 승패를 가르는 문제라 그런지 지문부터 난해하더군요. 처음에는 무슨 말인지 잘 이해하지 못했습니다. 중학교 과학 문제이니 원자반지름은 여러 정의 방법이 있으며 원자 사이의 거리는 온도에 영향을 받는다 등의 자세한 내용은 무시하고 원자를 구 혹은 점으로 생각했습니다. 위에서 체심입방격자구조를 설명해 주어서인지 공간 안의 모든 점들을 체심 입방 구조에서의 각 원자라고 생각하고 문제를 읽게 되니 원자를 부피가 없는 점으로 생각하면 A0에 가장 가까운 8개의 원자가 A0에 가장 가까운 점들의 집합이며 D0는 8개의 원자가 이루는 정육면체 하나인 a3이 되는지, 원자를 부피가 있는 구로 생각하면 A0에 가장 가까운 8개의 원자가 A0에 가장 가까운 점들의 집합이며 D0는 주변 8개 원자의 부피인

$\frac{\sqrt{3}}{2}\pi \combi{a}^3$√32πa3

이 되는지(채심 입방 구조에서 원자 1개의 반지름은 ((31/2)/2)a이며 이를 반지름으로 가지는 구 8개의 부피) 정말 헷갈렸습니다. 하지만 문제를 다시 한번 읽어보니 애초에 접근 방법이 잘못된 것이었습니다. 채심 입방 구조에서 단위격자 중심의 점을 A0라 하면 공간 안의 모든 점은 말 그대로 공간을 이루는 무수히 많은 점을 의미하며 A0에 가장 가까운 단위격자의 꼭짓점에 위치한 8개의 점과의 거리보다 A0와의 거리가 더 가까운 점들의 집합으로 이루어진 부피가 D0이더군요.

문제를 확실히 이해하고 나니 카르마의 풀이가 이해가 가더군요. 카르마는 이 문제를 단위격자는 무수히 많으며 한 원자는 8개의 단위격자에 동등하게 분배되어 있기에 중심 원자의 차지 비율을 1이라 하면 꼭짓점 원자의 차지 비율은 1/8이고 이것이 8개가 있으므로 1:1이라는 대칭성을 이용해서 풀었습니다.(풀이 설명이 제대로 되었는지는 모르겠습니다.) 이것을 이해하니 대칭성이 아닌 공간도형을 이용해 이 문제를 풀고 싶은 생각이 들었습니다.

이 문제는 결국 단위격자의 부피인 a3과 D0의 비율을 구하는 문제이기에 8개의 꼭짓점에 위치한 원자(지금부터 B라 명칭)와 A0는 대칭 관계이므로 단위격자를 8개의 더 작은 정육면체로 나누어 대각선에 위치하는 꼭짓점을 각각 A0와 B라 잡고 작은 정육면체 내부의 한 점을 p라 잡았을 때 선분 AP<=선분 BP를 만족하는 p로 이루어진 도형의 부피(지금부터 D1이라 명칭)의 비를 구하려 하였습니다.



A0를 (0,0,0), B를 (b, b, b)라 하고(b=a/2) 점 p를 (x, y, z)라 하면 (0<=x, y, z<=1) 선분 AP<=선분 BP를 만족하는 점 p의 집합이 D1이므로

$\sqrt{\combi{x}^2+\combi{y}^2+\combi{z}^2}\le \sqrt{\combi{\left(x-b\right)}^2+\combi{\left(y-b\right)}^2+\combi{\left(z-b\right)}^2}$√x2+y2+z2≤√(x−b)2+(y−b)2+(z−b)2

으로 나타낼 수 있고 이를 풀면

$2bx+2by+2bz-\combi{3b}^2\le 0$2bx+2by+2bz−3b2≤0

으로 평면방정식 2bx+2by+2bz-3b2=0으로 나뉘는 정육면체의 두 부분 중 A0를 포함하는 부분이 D1라는 것을 알 수 있었습니다.



(6개의 점은 각 변의 중점, 이해를 돕기 위해 A0와 B의 위치를 변경시켰습니다.)

이 그림을 보자 비로소 아사노의 풀이가 이해되었습니다. 아니, 아무리 애니메이션이라지만 점화식도 그렇고 중 3이 이런 문제를 푸는 게 정상입니까......?

다시 풀이로 돌아와서, 저는 여기서 D1의 넓이를 어떻게 구할지 고민하였습니다. 가장 먼저 떠오른 것은 대칭적인 공간도형의 중심을 지나는 평면으로 이등분된 도형의 넓이는 같다는 성질이었습니다. 평면의 방정식인 2bx+2by+2bz-3b2=0는 대칭적인 공간도형인 정육면체의 중심인 (b/2, b/2, b/2)를 지나므로 D1은 정육면체의 넓이의 1/2이므로 D0 또한 a3/2임을 알 수 있었지만 이를 증명하기 위해서는 이중적분을 써야 되므로(다른 방법이 있는지는 모르겠지만 중심에 대하여 대칭적인 선분을 한 평면에서 중심각이 0<=x<=π에 대해 적분하여 면의 넓이를 구하고 그 면을 다시 중심각이 0<=x<=π에 대해 적분해 부피를 구합니다.) 중학교 과정에서 이용하기에는 너무 어려운 감이 있었습니다.(위의 평면의 방정식도 중학교 교육과정은 아닙니다만 쿠누기가오카 중학교에서는 고교 과정을 먼저 배우며 생각을 통해 저러한 모양을 알아낼 수 있다고 억지를 부려봅니다.) 다른 방법으로는 x, y, z에 대한 3중 적분을 생각해보았지만 마찬가지로 중학교 과정 외의 내용이었습니다.

어떻게 하면 적분을 이용하지 않고 넓이를 구할 수 있을지 고민하다 아사노의 풀이를 다시 한번 생각하게 되었습니다. 아사노는 D1을 삼각기둥과 육각기둥(번역이 적절한지 자신이 없습니다.)의 집합체로 생각하고 풀었습니다. 물론 저 방법대로 문제를 풀 수 있지만 각 변의 길이를 구해야 되고 특히 높이를 구하는 과정이 까다롭기에(완전히 어렵지는 않지만) 좀 더 쉬운 방법을 생각해보았습니다. 그러자 닮음에 생각이 미치더군요.




다음 그림은 평면방정식 2bx+2by+2bz-3b2=0으로 잘린 정육면체, 즉 D1을 그린 것입니다. 원점을 O라고 하면 삼각뿔 OA1B1C1의 부피는 (9/16)b3이 됩니다. 이때 D1은 삼각뿔 OA1B1C1에서 삼각뿔 A1A2A3A4, B1B2B3B4, C1C2C3C4를 뺀 나머지 부분임을 알 수 있습니다. 이때 면 A1C1O와 면 B2B3B4는 평행하기에 삼각뿔 B1B2B3B4와 삼각뿔 OA1B1C1은 닮음 관계임을 알 수 있고 변 OB1와과 변 B3B1의 비율이 3:1이기에 삼각뿔 B1B2B3B4와 삼각뿔 OA1B1C1의 부피비는 27:1임을 알 수 있습니다. 마찬가지로 삼각뿔 A1A2A3A4와 삼각뿔 OA1B1C1, 삼각뿔 B1B2B3B4와 삼각뿔 OA1B1C1도 닮음 관계이며 부피비가 27:1이 됩니다. 따라서 D1의 부피는 삼각뿔 OA1B1C1의 부피의 (27-3)/27=8/9가 되며 이는 (1/2)b3이 되기에 작은 정육면체의 부피와 D1의 부피는 2:1의 비율을 가지게 되고 결국 D0와 원래 정육면체의 부피비 또한 2:1이 되어 D0의 넓이는 정육면체 넓이인 a3의 1/2, 즉 (1/2)a3이 됩니다.

지금까지의 풀이는 원자를 부피를 가지지 않는 점으로 가정한 풀이이며 문제에서 그림에 A0를 표시해 주지 않았기에 원자가 부피비를 가지는 구로 가정했을 때의 답은 (1/2)a3에서 구의 부피를 뺀 (1/2)a3-3/4(31/2/4)3a3π이 되지만 애니메이션에서 답이 (1/2)a3였으므로 원자를 부피를 가지지 않는 점으로 가정하는 것이 옳지 않나 생각됩니다.

정말 중3임에도 불구하고 점화식 문제를 풀지 않나 이 문제를 직관적으로 생각한 카르마나 도형으로 접근한 아사노나 정말 괴물이 다름없습니다. 그에 반해 시험에 대한 압박이 없음에도 문제 이해조차 확실히 하지 못한 저는......

추가적으로 카르마와 아사노라는 E 반과 A 반의 정점의 대결의 문제로 이 문제를 선택한 작가 또한 정말 대단했습니다. 아사노의 풀이에서는 계산적이고 계획적인 아사노와 A 반의 성격이 드러났으며 카르마의 풀이에서는 남들은 가지지 못한 자신만의 개성이 모두에게 있다는 E 반의 가치관이자 [암살교실]이라는 애니메이션을 관통하는 주제를 문제의 풀이를 매개로 드러낸 작가의 의도는...... 역시 괜히 [암살교실]이 유명한 건 아닌가 봅니다.

글을 다 쓰고 나니 내가 겨우 애니메이션에 나오는 문제를 가지고 무슨 짓을 한 건지 허무함이 몰려옵니다. 그것보다 정말 카르마나 아사노는 겨우 중3인 주제에 시험의 압박까지 견디며 어떻게 저 문제를 풀었는지...... 자괴감이 엄청나군요 ㅜㅜ




[풀이 요약]




채심 입방 구조에서 단위격자 중심의 점을 A0라 하면 공간 안의 모든 점은 말 그대로 공간을 이루는 무수히 많은 점을 의미하며 A0에 가장 가까운 단위격자의 꼭짓점에 위치한 8개의 점(이후 B)과의 거리보다 A0와의 거리가 더 가까운 점들의 집합으로 이루어진 부피가 D0이다. 채심 입방 구조의 단위격자를 한 꼭짓점에는 A0가, 대각선의 꼭짓점에는 B가 위치한 8개의 작은 정육면체로 나누면 다음과 같이 표현이 가능합니다.



여기서 D1이 8등분되어 단위격자 안에 들어온 부피를 D1이라고 하면 점 p를 (x, y, z)라 했을때 (0<=x, y, z<=1) 선분 AP<=선분 BP를 만족하는 점 p의 집합이 D1이므로

$\sqrt{\combi{x}^2+\combi{y}^2+\combi{z}^2}\le \sqrt{\combi{\left(x-b\right)}^2+\combi{\left(y-b\right)}^2+\combi{\left(z-b\right)}^2}$√x2+y2+z2≤√(x−b)2+(y−b)2+(z−b)2

으로 나타낼 수 있고 이를 풀면

$2bx+2by+2bz-\combi{3b}^2\le 0$2bx+2by+2bz−3b2≤0

으로 평면방정식 2bx+2by+2bz-3b2=0으로 나뉘는 정육면체의 두 부분 중 A0를 포함하는 부분이 D1라는 것을 알 수 있었습니다.



(6개의 점은 각 변의 중점, 이해를 돕기 위해 A0와 B의 위치를 변경시켰습니다.)

여기서 닮음을 이용하기 위해 평면방정식 2bx+2by+2bz-3b2=0으로 잘린 정육면체, 즉 D1을 그립니다.



원점을 O라고 하면 삼각뿔 OA1B1C1의 부피는 (9/16)b3이 됩니다. 이때 D1은 삼각뿔 OA1B1C1에서 삼각뿔 A1A2A3A4, B1B2B3B4, C1C2C3C4를 뺀 나머지 부분임을 알 수 있습니다. 이때 면 A1C1O와 면 B2B3B4는 평행하기에 삼각뿔 B1B2B3B4와 삼각뿔 OA1B1C1은 닮음 관계임을 알 수 있고 변 OB1와과 변 B3B1의 비율이 3:1이기에 삼각뿔 B1B2B3B4와 삼각뿔 OA1B1C1의 부피비는 27:1임을 알 수 있습니다. 마찬가지로 삼각뿔 A1A2A3A4와 삼각뿔 OA1B1C1, 삼각뿔 B1B2B3B4와 삼각뿔 OA1B1C1도 닮음 관계이며 부피비가 27:1이 됩니다. 따라서 D1의 부피는 삼각뿔 OA1B1C1의 부피의 (27-3)/27=8/9가 되며 이는 (1/2)b3이 되기에 작은 정육면체의 부피와 D1의 부피는 2:1의 비율을 가지게 되고 결국 D0와 원래 정육면체의 부피비 또한 2:1이 되어 D0의 부피는 정육면체 넓이인 a3의 1/2, 즉 (1/2)a3이 됩니다.

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