저건 의외로 중요한 지적인거같음.

일단

물론 10진법의 0.999...
11진법에서 0.aaa...

둘 다 1이라는건 분명한 사실이란걸 짚고감.




결국 지금 0.99 떡밥 도는 이유가 무슨 수학강사따리가 쇼츠찍어서 그런거잖아?

0.999... 와 1 사이에 존재하는 수가 없어서 0.999...=1 이라는 논증, 실수집합에서 조밀성이 성립한단걸 이용하는 증명 말임.

난 이게 꽤 좋은 증명이라고 생각했는데
왜냐하면 구질구질한 진법전개에 적극적으로 태클걸지 않은 채로 "간단하게" 증명할 수 있었다고 생각했기 때문임.

증명과정을 좀 더 살펴보면

서로다른 실수 x,y 가 있으면 반드시 그 사이에 또다른 실수가 존재해야함.
왜냐면 유리수는 조밀성이 성립하고
실수는 유리수의 완비화공간이기 때문에 ㅇㅇ



따라서
1. 0.999... 가 실수
2. 1이 실수
3. 0.999... 와 1 사이에 "다른 실수" 가 없다.

위 셋을 보인다면 0.999...=1 을 보인거지.


1번 증명은 0.999... 의 정의와 단조수렴정리(완비성) 로 증명됨
2번은 그냥 자연수니까 자명한거고.

그런데 3번에 대한 증명은 꽤 얼렁뚱땅임.

그냥...

"10진법 전개를 봐! 그 사이에 무슨 수를 끼워넣을 수 있겠니?"

라고 다그치는 것 이상도 이하도 아님.

가령
0.91
0.991
0.9991
...
의 극한을 (0.999...)' 이라고 정의한다면

0.999... ≤ (0.999...)'

일 거임

정확히 쓰면 부등호가 아니라 등호이지만,
애당초 그 설명으로 납득할 수 있었다면 그냥 무한등비급수나 엡실론델타로 보이고 끝내겠지 왜 조밀성까지 파고들겠음?

그래서 11진법, 12진법을 들고온 유동이 꽤 통렬한 지적을 한 것 같음.
0.999... 와 1 사이에 아무 수도 없다고 주장하는 근거는 사실 진법전개를 그렇게 했기 때문에 그래보이는거지,

0.9 를 11진법으로 쓰면 (0.9999....)_11 이고
0.99 를 11진법으로 쓰면 (0.a987654320a987....)_11 임.

다른진법으로 봤을때 정말 1사이에 다른수를 못끼워넣나?
엄청 자명해보이지는 않음.


그리고 0.999.... 와 (0.bbb...)_12 사이에 다른 수를 못끼워넣냐?
이것도 솔직히 "쉽게" 대답할 자신은 없음

당연히 "어렵게" 대답은 할 수 있지.
근데 그 과정에서 어차피 무한등비급수가 등장해야하잖음.
그럼 그냥 바로 무한등비급수 쓰면되는거지 뭐하러 이렇게 돌아돌아 증명함...



솔직히말하면 n진법에서
0.(n-1)(n-1)(n-1)....= 1
인게 너무 당연하게 느껴지긴 해

특히 칸토어집합 3진법 전개에서
0.2222....=1 이거로 이미 머리가 오염되어가지고 그런거같은데

만약 뇌를 초기화시킨 뒤

0.999... 와 (0.999...)' 이 둘이 "실수" 라는것만 인정하고
그 수렴값이 1이라는 정보를 가져오지 않은 채로 3번을 증명하려면 추가적인 논증이 필요해보임.


"0.999... 와 1 사이에는 다른 수가 없다!"

라는 말은 그냥 다 알고난 뒤에 할 수 있는 감상일 뿐,
0.999...=1 을 증명하는 과정에 있어서는 쓸데없는 구설수인 것 같다는 말임.