중학교 수학시간에


편차의 평균을 구하려는데 편차의 합은 0이 되기 때문에

음의 부호(마이너스)를 없애 주기 위해

제곱을 시켜서 더한 다음 마지막에 제곱근(루트)를 씌워준다


라고 배웁니다

다들 그렇게 배우셨을 겁니다


즉 이렇게 말이죠


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당시에 저는 그 설명을 듣고 의아했습니다.


마이너스때문에 합이 0되는걸 막고 싶으면



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이렇게 절대값으로 표현하면 되는거 아닌가?

라고 생각을 했기 때문입니다.


주변에 아무도 저와 같은 의문점을 푼 아이들이 없었다는게 신기했습니다


그래서 선생님께 물어봤습니다. 이렇게 절대값으로 쓰면 되는거 아니냐고요.

그러나 어느 하나 제대로 된 답변을 내놓는 사람이 없었습니다.

(운동에너지도 제곱형식이니 제곱은 자연의 섭리라는 등 별 말 같지도 않은 소리를 한다든지)


그래서 제 혼자 힘으로 고민하고 끙끙대며 분석하고 추론하였습니다.


당시 제가 떠올린 첫 가설은

편차라는 개념은 자료가 평균으로부터 떨어져 있는 거리이기 때문에

거리 공식을 써야 하므로 중학교때 배운 유클리드 거리 공식 꼴을 이용하여 제곱후 더해서 루트씌운다고 생각했습니다.

그러나 불완전한 느낌은 지울 수 없었고 애매했습니다. 이런 이유가 아닐 것 같은 촉이라는게 느껴졌습니다.

왜냐하면 절대값도 거리공식으로 볼 수 있지 않을까?란 생각이었기 때문입니다

실제로 나중에 알게된 사실이지만 더 일반화된 거리공식으로


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이러한 공식이 있으며, 즉 m=1일때와 m=2일때가 지금 다루는 이야기들이며 둘 다 거리공식에 속하므로

따라서 첫 가설은 바로 폐지되었습니다.


그래서 다시 보완하여 다시 가설을 세워봤습니다

거리라는 것은 수학적으로 최소거리를 나타낸다는 것을 이용한 것인데요.

m=2꼴일 때의 최소값은

분자가 최소이면 되므로

분자의 최소값은


7de99e36ebd518986abce8954488756a40

에서 k는 x의 평균일 때 최소값을 갖는다는 걸 알 수 있습니다.


반면 m=1꼴일 때 최소값은

마찬가지로 분자가 최소값이면 되므로


0eb2d423c6dd3fb54baed8f55e806d7351d5bba83bddf995f75d0564d2


분자를 f(c)로 두고 f(c)에 대한 그래프를 그려보면


a17921ac3536b2769cf1dca511f11a39f5b9c3f40a18e8fa28d5


c가 중간값일 때 최소값을 갖는다는 것을 발견할 수 있었습니다.


따라서

m=2꼴(제곱 후 더한 후 루트씌우기)은 평균으로부터의 편차를 생각할 때 사용하고

m=1꼴(절대값 취한 후 더하기)은 중간값으로부터의 편차를 생각할 때 사용해야 된다는 결론을 내렸습니다.


추후 고등학교가서 미적분을 공부한 뒤로는

절대값은 첨점때문에 미분도 안되는 등 아무래도 수학적으로 이용가치가 떨어지고

마침 평균은 계산으로 구하지만 중간값은 계산으로 구하는게 아닌 것도 있고

그러다보니 m=2꼴의 수학적 이용가치가 높아 m=2꼴을 쓰는 것이지 않을까란 생각도 하게 되었습니다



결론은 편차합이 0 되기 때문에 제곱해서 더한다는 설명은 비논리적인게 맞았던 것이었던거죠







다음번에는 분산 및 표준편차 계산할 때 분모를 n-1로 나누는 이유가 자유도 때문이라는 설명이 비논리적이고 다른 이유에 의해서 n-1인걸 발견한 썰을 들려드리겠습니다







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