님들 저 미적분 좀 도와줘요

[Abraxas(huangdizhidu)]

대칭 구간(-r,r) 내에서 정의된 모든 함수 f(x)를 우함수와 기함수의 합으로 나타낼 수 있음을 증명하라

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(-r, r)에서 정의된 함수 f(x)가 있다고 해봐. 이걸 우함수랑 기함수 합쳐서 나타낼 수 있는지 보여줄게. 먼저 g(x)랑 h(x)를 이렇게 정의하자: * g(x) = (f(x) + f(-x))/2 * h(x) = (f(x) - f(-x))/2

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2. g(x)가 우함수인 거 보여주기 g(-x) = (f(-x) + f(x))/2니까 결국 g(x)랑 똑같지? 그럼 g(x)는 우함수네. 3. h(x)가 기함수인 거 보여주기 h(-x) = (f(-x) - f(x))/2 = -(f(x) - f(-x))/2 = -h(x)니까 h(x)는 기함수 맞지.

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4. f(x) = g(x) + h(x) 확인하기 g(x) + h(x) = (f(x) + f(-x))/2 + (f(x) - f(-x))/2 = f(x)

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f(x)는 항상 우함수 g(x) = (f(x) + f(-x))/2 와 기함수 h(x) = (f(x) - f(-x))/2 를 합쳐서 나타낼 수 있다