항등식이 주어진 극한 질문

[익명(physics7418)]

실수 전체의 집합 위에서 미분가능한 함수 f 가 있다

임의의 두 실수 x, y 에 대하여 f(x + y) = f(x) + y(x) 가 성립할때

미분계수 하나 알려주고 다른 점에서의 미분계수 구하라는 문제였음

위의 식이 선형성을 함의하는거 맞지?

완전히 그렇다고 볼 수 없나?

- dc official App

[수갤러 1(119.202)]

y(x)가 아니라 f(y)인데 오타난거지?

[익명(physics7418)]

어어 - dc App

[수갤러 1(119.202)]

미분계수는 그냥 정의대로 미분계수 구하는 식에서 문제에서 주어진 조건(항등식)을 이용해서 변형하면 모든 실수 a에 대해 f'(a)=f'(0)인걸 보일 수 있어서 f'(x)는 그냥 상수함수인거 보일수 있고 선형성은 위의 항등식 조건에서 미분가능까지 쓸 필요도 없이 임의의 한 점에서 연속이라는 조건만 붙어도 바로 보일 수 있음

[익명(physics7418)]

f(x + y) = f(x) + f(y) 이거랑 연속인 점이 f의 정의역에 적어도 하나 존재하면 선형성을 보일 수 있음? - dc App

[수갤러 1(119.202)]

f(x+y)=f(x)+f(y)라는 사실을 이용하면 한점에서 연속인거 보이면 전체 구간에서 연속인건 보장됨. 예를들어 x=c에서 연속이면, [즉, lim h->0 f(c+h)=f(c)이면], 임의의 점 x=a에 대해 f(a+h)= f(c+h+a-c) = f(c+h)+f(a-c)이니까 lim h->0 f(a+h) = lim h->0 [f(a-c)+f(c+h)]= f(a-c)+f(c) = f(a)가 성립해서

[수갤러 1(119.202)]

한 점에서 미분가능하면 전체 구간에서 미분가능한거랑 마찬가지로

[익명(physics7418)]

아 ㅈㄴ 알겠다 - dc App

[익명(physics7418)]

어어 - dc App