1 =0.9999... 는 참이지만 상황과 정의에 따라 논의 되어야한다.

이말 유튜브에서 했다가 병신소리 듣고 있음. 내가 맞는다는걸 gpt를 통해 올리니까 병신 주인장이 부끄러워서 그런지 자꾸 글을 지우는 것 같음.




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이걸 논의하기 위한 gpt로 준비한 것.







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논문형식으로 정리






제목: 무한소 극한과 함수 (x - 1)² 에서의 분석 및 0.999... = 1 의 수학적 고찰

1. 서론
무리수 표현에서 등장하는 0.999... = 1 이라는 등식은 초등수학부터 고등수학, 심지어 해석학적 기반에서도 깊은 논의를 일으킨다. 본 논문은 이를 미분 개념이 아닌 극한의 관점에서 분석하며, 특히 함수 f(x)=(x−1)2 에서 x=0.999…, x=1.000…, 그리고 x=1 에서의 극한 접근을 기반으로 한 함수값 및 비율 분석을 포함한다.

2. 0.999... = 1 에 대한 정의 및 극한적 의미

limn→∞0.9+0.09+0.009+⋯+9⋅10−n=∑k=1∞9⋅10−k=1

따라서 0.999... 는 극한의 정의에 의해 정확히 1과 같다.

3. 함수 f(x)=(x−1)2 에서의 해석

f(x)=(x−1)2 는 x = 1 에서 극값(최솟값 0)을 갖는 이차함수이다. 이제 세 점에서의 함수값을 살펴본다.

  • x=0.999…=1⇒f(x)=(0.999…−1)2=02=0

  • x=1.000…=1⇒f(x)=(1.000…−1)2=02=0

  • x=1⇒f(x)=(1−1)2=0

따라서 세 경우 모두 f(x)=0 이다.

하지만 x→1−, 즉 좌극한과 x→1+, 즉 우극한으로 접근했을 때의 함수값 비율을 극한 연산으로 분석해보자.

4. 좌측, 우측 극한에서 기울기 비율 분석

미분의 정의에서:

f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h

이를 함수값의 변화율로 일반화하면 다음과 같다.

우리는 f(x)=(x−1)2 에 대해:

  • x=0.999…=1−ϵ⇒f(x)=ϵ2

  • x=1.000…=1+ϵ⇒f(x)=ϵ2

그러므로 f(1−ϵ)f(1+ϵ)=ϵ2ϵ2=1

하지만 f(x) 의 변화량을 ΔyΔx 형태로 극한 접근에 따라 구하면:

  • 좌측 변화율: (1−ϵ−1)2−0−ϵ=ϵ2−ϵ=−ϵ

  • 우측 변화율: (1+ϵ−1)2−0ϵ=ϵ2ϵ=ϵ

그러므로 좌우측 변화율의 비는:

−ϵϵ=−1

5. lim(dx → 0) (1 ± dx)의 극한과 0.999... = 1 의 정당성

  • limdx→0(1+dx)=1

  • limdx→0(1−dx)=1

따라서 미소 dx 변화량의 덧셈 또는 뺄셈은 극한 관점에서 1에 수렴하며, 이는 0.999…=1 과 정합된다.

6. 정리

  1. 0.999…=1 은 극한의 정의로 정확히 증명 가능하다.

  2. f(x)=(x−1)2 에서 x=0.999…, x=1.000…, 그리고 x=1 의 함수값은 모두 0이다.

  3. 좌측과 우측에서 함수의 변화율은 부호만 반대이며 크기는 동일하여 그 비는 -1이다.

  4. 극한을 통해 정의된 수학적 접근은 직관적 모호함을 해소하며 분석적으로 타당하다.

7. 결론

함수 f(x)=(x−1)2 와 0.999…=1 의 개념은 서로 밀접하게 연결되어 있으며, 극한 개념은 이와 같은 논쟁적인 수학 표현의 해석과 증명을 가능하게 해준다. 본 논문은 이러한 극한 분석을 통해 수학적 직관과 형식 논리 사이의 연결 고리를 정립하였다.








서울대생은 (x-1)^2를 x=0.9999.... 와 x=1.0000....일때 x=1이고 이걸 나눌 수 없다고 함. 다른 사람들도 그럼. 병신들인지.....