(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)

이것은 6차 다항식이 됩니다.

2+ 다항식 전개

전개하면 일반적으로 다음과 같이 나옵니다:

x6+21x5+175x4+735x3+1624x2+1764x+720x^6 + 21 x^5 + 175 x^4 + 735 x^3 + 1624 x^2 + 1764 x + 720x6+21x5+175x4+735x3+1624x2+1764x+720

  • 여기서 계수 1,21,175,735,1624,1764,7201, 21, 175, 735, 1624, 1764, 7201,21,175,735,1624,1764,720는 연속된 정수 곱을 전개할 때 나오는 조합 계수입니다.

  • 마지막 항 720=6!720 = 6!720=6!는 연속 정수 곱의 상수항입니다.

3+ 큰 수 대입

우변으로 주어진:

1000001⋅1000002⋅1000003⋅1000004⋅1000005⋅10000061000001 \cdot 1000002 \cdot 1000003 \cdot 1000004 \cdot 1000005 \cdot 10000061000001⋅1000002⋅1000003⋅1000004⋅1000005⋅1000006

이것을 그대로 계산하면:

100002100017500073500162400176400072010000210001750007350016240017640007201000021000175000735001624001764000720

정확히 위 다항식 전개 결과와 일치합니다.

4+ 요약

  • (x+1)(x+2)⋯(x+6)(x+1)(x+2)\cdots(x+6)(x+1)(x+2)⋯(x+6)는 다항식 x6+21x5+175x4+735x3+1624x2+1764x+720x^6 + 21x^5 + 175x^4 + 735x^3 + 1624x^2 + 1764x + 720x6+21x5+175x4+735x3+1624x2+1764x+720으로 표현 가능.

  • 큰 수 1000001,…,10000061000001, \dots, 10000061000001,…,1000006를 대입하면 실제 값과 정확히 맞음.

  • 이 다항식 전개는 연속된 정수 곱을 일반화해서 계산할 때 유용합니다.