전땅크 난제 (conjecture) — 단번에 모든 것을 올려붙인 최강 난제

정식 서술(요약): 모든 수체 KK에 대하여, 모든 **순수(순차적) 유한차수 동기(motive) MM**에 대해 표준 LL-함수 L(s,M)L(s,M)와 그 관련 자동형 표현, 대수적 순환(algebraic cycles) 및 기하학적 표준 명제들이 아래의 전부 조건을 만족한다.

  1. 완전성(Analyticity & Functional Equation).
    모든 순수 동기 MM의 표준 LL-함수 L(s,M)L(s,M)는 전 해석적 전체 함수(또는 자명한 극점만 가짐)를 가지며, 명시적 감마 인자와 유도된 완전 함수 Λ(s,M)Λ(s,M)은 표준형 함수식(functional equation)

    Λ(s,M)=ε(M) Λ(1−s‾,M∨‾)Λ(s,M)=ε(M)Λ(1−s,M∨)

    을 만족한다. (여기서 M∨M∨는 쌍대 동기, ε(M)ε(M)는 유수성 상수.)

  2. 절대 리만 가설(Absolute Riemann Hypothesis).
    모든 비자명 영점은 임계선에 놓인다:

    L(s,M)=0  ⟹  ℜs=12.L(s,M)=0⟹ℜs=21.

    더 나아가 모든 비자명 영점은 단순하고, 서로 다른 동기들에서 나오는 영점들까지 포함해 그 허수부들의 QQ-선형 독립성이 성립한다.

  3. 전언어적(Langlands) 일대일성 & 범함의성(Functoriality & Motive–Automorphy).
    순수 동기 MM마다 (정의 가능한) 일차원·다차원 Galois 표현 및 재배열 가능한 자동형 표현 π(M)π(M)이 존재하여 L(s,M)=L(s,π(M))L(s,M)=L(s,π(M)). 반대로 모든 정규화된 원시 자동형 표현은 어떤 순수 동기에 의해 유도된다(완전한 동기–자동성 대응).

  4. 통계적 보편성(Universal Random-Matrix / Sato–Tate–GUE).
    임의의 자연스러운 동기족(family of motives)에 대해 영점의 국소적 통계(저차 및 고차 상관도)는 유한한 대칭군·기하학적 모노드로부터 결정되는 보편적 랜덤-매트릭스(예: GUE/GOE/GSE 계열)에 수렴한다. 이는 임의의 동기에 대해 낮은 고유치(low-lying zeros) 통계가 표준 RMT 예측을 따른다는 것을 포함한다.

  5. 대수적 순환의 표준 명제들( Grothendieck 표준추측, Hodge, Tate 등).
    모든 대수적 다양체에 대해 Grothendieck의 표준추측들(표준동형성, 순환의 존재성 등), Hodge conjecture(적절히 정형화된 수체 버전), Tate conjecture가 성립한다.

  6. Bloch–Kato / Birch–Swinnerton-Dyer의 범해석성.
    모든 순수 동기에 대해 Bloch–Kato의 정리(가환성과 LL-함수의 국소·전역 지표 일치), 특별값 규칙(특히 아벨 다양체의 BSD)은 성립한다.

  7. 무-지겔·Landau–Siegel 부재 & 최적 영점밀도.
    실계 헤케 문자 등에서 지겔형 영점이 존재하지 않으며, 임의 σ>1/2σ>1/2에 대해 영점밀도는 최적 추정

    N(σ,T;M)=OM,ε (T2(1−σ)+ε)N(σ,T;M)=OM,ε(T2(1−σ)+ε)

    을 만족한다(모든 동기에서 균일한 형태).

  8. 효과적 체보타레프(Effective Chebotarev) — 제곱근 오차항.
    모든 유한 갈루아 확장 L/KL/K와 합동류 CC에 대해

    πC(x)=∣C∣∣G∣Li(x)+O (x1/2logA(x⋅DL/K)),πC(x)=∣G∣∣C∣Li(x)+O(x1/2logA(x⋅DL/K)),

    이 성립한다(상수 AA는 절대적이며, 의존성은 DL/KDL/K 등으로 제어된다).

  9. 함수형 전송의 보전성(Transfer Stability).
    Langlands functoriality에 따른 표준 전이(대칭제곱, 외적 등)는 영점 구조(위상적 대칭 유형, 로컬 근거 등)와 전역 통계(저차 상관도)를 보존한다.