고1 첫 수업부터 기하 문제를 대수로 꺾어서 풀고 있는 정신나간 고등학생입니다

(유동이 존댓말 쓰는 건 봐주는 분위기인 거 같아서 썼는데

문제 시 자삭 재업하겠음)


(식이 너무 복잡해질까봐 임의의 수치를 넣었음)

[점 A(3,5), B(x,x), C(y,0)이 이루는 삼각형 ABC에 대해 그 둘레의 길이의 최솟값을 구하시오]

...라는 대칭이동 1초컷 문제를

굳이 연립편미분방정식으로 (극값이 존재하면 해당 지점에서 x, y의 기울기가 모두 0이 되니까)

뜯어보려고 했는데


식이 비선형으로 나와서 일반해를 못 구하네요...


'대칭이동으로 풀면 나온다'는 건

'대칭이동이 먹히는 좌표계에서는 해를 구할 수 있다'는 거니까

유클리드 공간의 특성을 어떻게 잘 엮어서 풀면 되는 거 같기는 한데

뭘 어떻게 시작해야 할지 모르겠음

형님들 SOS


혹시 식 전개 과정에 오류가 있을 수도 있으니까

중간과정 첨부합니다


(*뉴비라 나눗셈 필요한 모든 지점에서

'일단 분모가 0이 아니라고 하고 나중에 계산하자'고 퉁쳤는데

이러면 안 되는 건가요?...)


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라고 두었을 때


x, y에 대한 편미분식


24b0d121e09c28a8699fe8b115ef0464d78be2


...에 대해

체인룰 써서 계산하고 공통부분 날리면


24b0d121e09c28a8699fe8b115ef0468eaadef


이렇게 되고

두 식 다 분모가 z3인 것들을 좌변에 몰고 나머지를 우변으로 제껴서

z3 날리고 다시 분모를 1에 맞추면


24b0d121e09c28a8699fe8b115ef04699338f1


z1 z2는 루트가 씌워진 값이니까 이걸 풀기 위해

z1/z2를 좌변에 둔 다음 나머지를 우변으로 넘기고 양변을 제곱한 뒤

분모에 가 있는 것들을 양변에 곱해서 분모를 1에 맞추면



24b0d121e09c28a8699fe8b115ef046541aaff


이렇게 나오는데

이걸 데스모스2D에 입력해서 확인해 본 결과



24b0d121e09c28a8699fe8b115ef046a7964efc5



...와! 껄껄껄


지금 시험기간인데(이제 1과목 끝남) 이거 때문에 멘탈 갈려서

아무것도 못하겠습니다ㅠㅠ


+가독성 때문에 수식을 이미지로 올렸는데

불쌍한 뉴비를 위해 계산기를 돌려보실 분이 있을지 모르니

계산기에 복붙하면 들어가는 형태로 바꿔서 쭉 쓰고 마칩니다


AB = z1 = sqrt{2(x-4)^2+2}

AC = z2 = sqrt{(y-3)^2+25}

BC = z3 = sqrt{2x^2-2xy+y^2}

…라고 했을 때

\partial z1/\partial x + \partial z2/\partial x + \partial z3/\partial x = 0

\partial z1/\partial y + \partial z2/\partial y + \partial z3/\partial y = 0

…인 지점이 극값의 후보가 되는데

체인룰 써서 계산하고 공통부분 날리면

(x-4)/z1 + (x-y/2)/z3 = 0

(y-3)/z2 + (y-x)/z3 = 0

두 식 다 분모가 z3인 것들을 좌변에 몰고 나머지를 우변에 둔 다음

x에 대한 식을 y에 대한 식으로 나누고 분모를 1에 맞추면

z1 * (x-y/2) * (y-3) = z2 * (x-y) * (x-4)

z들은 루트가 씌워진 상태이므로 계산을 위해 루트를 풀려면

z1/z2 = { (x-y) * (x-4) } / { (x-y/2) * (y-3) }

양변을 제곱하면

{2*(x−4)^2+2}(x−y/2)^2(y−3)^2={(y−3)2+25}(x−y)^2(x−4)^2