삼각형의 무게중심 관해서 궁굼해서 디시 가입했는데 도와주세요

[수학적인수학자(warrior2414)]

삼각형 ABC에서 삼각형 ABC안에 있는 임의의 점을 K라고 할 때, ABK,BCK,CAK의 크기가 같으면 임의의 점이 삼각형의 무게중심이라 할 수 있나요?

K가 무게중심일 때는 ABK,BCK,CAK의 크기가 같다는 것을 쉽게 보일 수 있는데 거꾸로 하려고 하니까 헷갈리네요..

수학 고수님들 도와주세요!

[익명(39.124)]

일단 무게중심에서 세 삼각형의 넓이가 같고 거기서 ABK의 넓이를 일정하게 유지하려면 K점이 AB에 평행하게 움직여야만 하는데 그러면 남은 두 삼각형의 넓이가 반드시 변하므로 K는 유일하네요

[익명(39.124)]

좀더 직접적으로 증명하자면 ABK의 넓이가 전체의 1/3이 되게 하는 K의 자취는 AB에 나란하고, C에 이르는 거리가 AB의 2/3인 직선이 됨 BC, CA에 대해서도 같은 조건의 직선을 그리면 교점이 특정되는데 이게 무게중심인걸 보일 수 있음 위의 세 직선으로 만들어진 9개의 작은 삼각형은 ABC와 닮았고 서로 합동이니까 AK를 연장하면 중선이 됨

[수학적인수학자(warrior2414)]

@ㅇㅇ(39.124) ㄳ