ε은 양의 무한소 초실수이다.

let lim x -> a f(x) = L <=> f(a + ε) - L은 무한소.

자명히 상술한 정의는 기존의 정의와 동치.

∵ε은 실수체에 존재하지 않음.

R*³ 상에 y = f = x^z 곡면이 있을 때 매개 변수 θ를 도입해벡터 t (s.t. t의 방향벡터는 [cos θ; 0; sin θ]이고 θ = 0에서 t와 x의 방향벡터는 같고 θ = π/2에서 t와 z의 그것도 마찬가지이다.)에 대해 D_t f = del f [cos θ; 0; sin θ] = zcos θx^(z - 1) + sin (θ) ln (z) x^z이므로 z가 무한소이면 sin θ ≠ 0에서 D_t f는 음의 무한대가 된다. 

여기서 주제의 의문이 생기는데 편미분이란 함수의 한 단면 상의 한 점에서의 증분 비이기에 z = 0 평면의 적당한 근방에서 특이점이 이렇듯 많이 뚫려 있으면 f 상에도 같은 위치에 특이점들이 있는 것인데 x^z = exp zlnx이므로 f는 해석적이라는 것이다. 

(∵R*에서도 ln은 잘 정의된다.)

그래서 파이썬으로 그래프도 그려봤는데 그래프 상으론 별다른 특이점이 안 보여서 뭔가 모순이 있는 것 같은데 잘 모르겠음;;