x^z 특이점 후속

[익명(115.89)]

이전 글 요약:

 1. f := x^z = exp zlnx이고 ln은 R*_+에서 잘 정의되므로 f는 R*×R*_+에서 해석적. 따라서 매끄러움.

2. (∵α := [cos θ; 0; sinθ] => D_α f = zcos θ x^(z - 1) + sin θ ln z x^z)(sin θ ≠0, z is infinitesimal => D_α f is negative infinite.)

3. (About some positive infinitesimal superreal number ε, lim x->a = L <=> f(a + ε) - L is infinitesimal) ≡ (any given ε > 0, exist δ s.t. 0 < |x - a| < δ => 0 < |f - L| < ε).

4. 1에 의해 f는 매끄러워야 하는데 2에 의해 특정 근방에서 특이점이 발생하는 것이 이해가 가지 않음.

이전에 굳이 초실수체를 이용한 거랑 3번만 따로 노는 것 때문에 의아했을 텐데 이번 논의를 위한 초석이었음.

편의를 위해 기존의 XYZ공간을 구면좌표계 변환 했음을 염두해 주삼.

변환으로 인해 f(x, z)가 f(r, θ)가 됨.

D_α f는 (ε, 0, f)에서 0, (ε, ε, f)에서 (1 + ln∘sin ε) sin ε (cos ε)^(sin ε)이므로 

f(2ε, 0) = f(ε, 0) = 1, 

f(2ε, ε) = f(ε, 0) + (1 + ln∘sin ε) sin ε (cos ε)^(sin ε)(1 + ln∘sin ε) sin ε (cos ε)^(sin ε) = (1 + sin ε + sin ε ln∘sin ε) (cos ε)^(sin ε)(1 + ln∘sin ε) sin ε (cos ε)^(sin ε).

이런 식으로 구체적인 좌표 값을 대입해서 그래프를 더듬어가면 어디가 문제인지 알 수 있을 것 같은 데 아직은 잘 모르겠음... 어떻게 접근해야 할까?

첨부된 도표는 이전 그래프와 그에서 원점 근처를 보인 것임