y=cos(x) 그래프를 그리고, x=0일 때의 좌표를 x1이라 하자. 이 경우 x1은 (0,1)이겠지.
이제 cos(x) 그래프에 x=x1일 때의 좌표를 x2라 하자. 이 때, cos(x)에서 x가 -(파이/2)보다 크고 파이/2보다 작을 때 0보다 크고 1보다 작으니, cos(x1)의 값도 0보다 크고 1보다 작을 거야. 즉 좌표 x2는 x1보다 오른쪽에 위치하겠네.
x3에 대해 생각해보면, cos(1)의 값이 0보다 크고 1보다 작으니 당연히 x2의 y값도 0보다 크고 1보다 작은데, x1의 y값은 1이었으니까 x3은 x1보다 오른쪽에 위치하면서 x2보다는 왼쪽에 있을 거야.
x4에 대해 생각해보면, 위의 방식에 따라 x4는 x3보다는 오른쪽에 있으면서 x2보다는 왼쪽에 있어.
이를 반복해보면, 마치 좌표 xn에서 n이 커지면 어디론가 수렴하는 것처럼 보인단말이지.
xn은 수렴하기는 할까? 수렴한다면 어디로 수렴할까?
x1 = (0, 1)로 잡아놓고 x = x1일 때의 cos x의 좌표라는게 무슨 말이니 x0 = 0, x1 = 1, cos(xn) = x_(n+1) (-pi/2 < x < pi/2) 이라는 점화식을 얘기한거면, xn이 L로 수렴할 때 cos L = L 이겠지
수렴할 때의 값은 알겠고, 수렴성은 어떻게 보일까요? 사실 이건 fixed-point iteration 이라는 방법이고 cos(x)는 유명한 예시 중 하나이고, 우리가 찾은 cos L = L 이라는 값 L은 Dottie number라는 상수이다
@ALTa 노트에 코사인 함수 그려놓고 끄적이다가 궁금해서 적어놓은 거라 엄밀하게 질문하지 못 했네, 쏘리. 그럼 저 fpi라 쓴 방법으로는 초기 x좌표 0이 아닌 다른 아무 숫자나 넣어도 L로 수렴하게 되는 건가?
@글쓴 수갤러(125.132) ㅇ cos의 경우는 시작점을 뭐로 잡든 dottie number로 수렴함