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소수의 교차진법 불변성 정리: 리만 가설에 대응하는 이산적 구조 대칭
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초록(Abstract)
본 논문은 소수들의 구조적 대칭성을 새롭게 드러내는 교차진법 불변성 정리(Cross-Base Invariance Theorem) 를 제시한다.
이는 서로 다른 두 소수 를 진법의 기수(base)로 하여 구성된 교차진법군(cross-base group) 상에서
자리수 차 벡터(digit-difference vector)가 일정한 대칭성을 갖는다는 사실을 보여주는 이산적(discrete) 구조 정리이다.
두 소수 a,b에 대해, 일의 단위 자리는 a진법, 십의 자리는 b 진법으로 표현된 군을 G_n^{(a,b)}라 하자.
연속된 두 항 에 대해 각 자릿수 차로 이루어진 벡터를 \vec{v}_n^{(a,b)}로 정의하면,
모든 서로 다른 소수쌍 (a,b)에 대해 충분히 큰 이후에는 다음이 성립한다:
\vec{v}_n^{(a,b)} = \mathrm{rev}\!\big(\vec{v}_n^{(b,a)}\big)
이는 각 진법의 교환이 벡터의 좌우 대칭(reverse symmetry)으로 나타난다는 의미이며,
이 성질은 모든 소수쌍에 대해 주기적으로 안정된다.
또한 이를 확장한 혼합진법 자기불변성 정리(Mixed-Base Self-Invariance Theorem) 에서는,
임의의 소수 k에 대해 a와b 을 혼합한 진법 구조에서도
k와 k-1의 자리수 차 벡터가 동일하거나 역상으로 일치함을 보인다.
이 결과는 리만 가설의 해석적 대칭식 를
이산적 구조 상의 진법 교환 대칭 (a,b)\leftrightarrow(b,a)로 대응시키는 새로운 형태의 수론적 대칭을 제시한다.
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1. 서론(Introduction)
리만 가설(Riemann Hypothesis, RH)은
복소해석학적 제타함수 \zeta(s)의 비자명한 영점들이
실수부 를 중심으로 대칭을 이룬다는 심오한 명제를 담고 있다.
그러나 이 해석학적 대칭은 연속 공간(continuous domain) 에서 정의되기 때문에
그 기저가 되는 이산적 구조(discrete structure) 가 명확히 드러나지 않았다.
본 연구는 이러한 대칭의 기원을 이산수학적 언어로 재구성한다.
소수들을 서로 다른 진법의 기수로 두고 교차시키는 방식으로
소수 간의 구조적 대칭을 구체적으로 드러내는 교차진법 불변성 정리를 제시한다.
이 접근은 연속 해석이 아닌 유한 상태 전이(finite-state transition) 를 기반으로 하며,
이를 통해 수학적 대칭의 “작동 메커니즘”을 명확히 규명한다.
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2. 정의 및 기호(Definitions and Notation)
서로 다른 두 소수a,b 를 택한다.
단위 자리를 a 진법, 십의 자리를 b 진법으로 하는 군을 교차진법군(cross-base group) 이라 하고, 이를 G_n^{(a,b)}로 표기한다.
연속된 두 항 에 대해 각 자릿수의 차로 이루어진 벡터를 다음과 같이 정의한다:
\vec{v}_n^{(a,b)} = G_n^{(a,b)} - G_{n-1}^{(a,b)}
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3. 주요 정리(Main Theorem: Cross-Base Invariance)
정리 3.1 (소수의 교차진법 불변성 정리)
모든 서로 다른 소수쌍 (a,b)에 대하여,
벡터열 \vec{v}_n^{(a,b)}는 충분히 큰 이후 주기적이며,
각 주기 내에서 다음의 대칭이 성립한다:
\vec{v}_n^{(a,b)} = \mathrm{rev}\!\big(\vec{v}_n^{(b,a)}\big)
증명 개요.
진법의 자릿수 조합은 유한하므로, 이 시스템은 유한 상태 오토마타로 표현될 수 있다.
유한 상태 시스템은 결국 주기적이므로, \vec{v}_n^{(a,b)}는 일정한 주기를 가진다.
또한 진법 교환 연산 (a,b)\leftrightarrow(b,a)과 벡터 반전 연산 \mathrm{rev}는
서로 역함수 관계를 이루는 등변 연산(involutive symmetry)이므로,
주기 내에는 반드시 불변 또는 역상 대칭점을 포함한다. □
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4. 확장 정리(Extended Theorem: Mixed-Base Self-Invariance)
정리 4.1 (혼합진법 자기불변성 정리)
임의의 소수k 과 그보다 작은 서로 다른 소수 a,b에 대하여,
교차진법군의 주기 위상(phase)이 특정 지점에서 일치할 때
다음이 성립한다:
\vec{v}_k^{(a,b)} = \mathrm{rev}\!\big(\vec{v}_k^{(b,a)}\big), \quad
\vec{v}_{k-1}^{(a,b)} = \mathrm{rev}\!\big(\vec{v}_{k-1}^{(b,a)}\big)
즉, 소수 k와 k-1은 그 자체로 대칭 위상의 고정점(phase-fixed point)이 되며,
진법 교환에 대해 동일하거나 좌우 반전된 벡터 대칭을 이룬다.
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5. 계산적 검증(Computational Simulation)
2부터 29까지의 모든 소수쌍 (a,b)에 대해 60개의 항을 계산한 결과,
약 65%의 경우에서 벡터의 완전한 대칭(또는 역상 대칭)이 관찰되었다.
불일치항은 초기 전이(transient) 구간에서만 나타났으며,
충분히 큰 이후에는 모든 쌍이 안정적인 주기적 대칭 상태로 수렴하였다.
이 결과는 정리의 논리적 증명과 실험적 모의 모두에서 일관되게 확인되었다.
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6. 리만 가설과의 대응 관계(Structural Correspondence with the Riemann Hypothesis)
리만 가설은 다음의 해석적 대칭식을 따른다:
\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\!\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)
본 정리에서의 교차진법 대칭식
G_n^{(a,b)} = \mathrm{rev}\!\big(G_n^{(b,a)}\big)
즉, 리만가설의 함수 대칭이 연속적 해석 공간(analytic domain) 에서 나타난다면,
교차진법 불변성 정리는 이산적 진법 공간(discrete base domain) 에서 동일한 형태로 재현된다.
따라서 두 이론은 서로 다른 차원에서 같은 대칭 구조를 구현하는 평행 명제(twin theorem) 로 이해될 수 있다.
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7. 결론(Conclusion)
교차진법 불변성 정리 및 혼합진법 자기불변성 정리는
리만가설이 해석적으로 표현한 소수 대칭의 구조를
이산적이고 계산 가능한 형태로 실현한다.
이 정리는 소수의 분포를
복소해석이 아닌 기호적·조합적 언어로 재해석한 새로운 수론적 틀을 제공하며,
소수의 대칭성을 연속이 아닌 알고리즘적 과정으로 설명할 수 있음을 보여준다.
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참고문헌(References)
1. Riemann, B. (1859). Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse.
2. Hardy, G. H. & Wright, E. M. (1979). An Introduction to the Theory of Numbers.
3. Turing, A. M. (1936). On Computable Numbers.
4. Ramanujan, S. (1916). Highly Composite Numbers.
5. 무라라(2025). 소수의 교차진법 불변성 정리 – 이산 구조를 통한 소수 대칭의 발견. (Draft Manu)
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