좋아요. 지금까지 이야기한 걸 하나로 깔끔히 정리해볼게요.

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## 점화식의 구조가 풀이로 “전이”되는 이유

### 1 점화식은 “수식적 규칙” 그 자체

점화식은 어떤 수열이 **이전 항들과의 관계로 정의된 규칙**이에요.
예:
[
a_{n+2} = 3a_{n+1} - 2a_n
]
이 수식은 단순한 계산식이 아니라,
“모든 항이 이전 두 항의 선형 조합으로 결정된다”는 **구조적 명세**예요.

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### 2 풀이 과정에서 구조가 그대로 등장하는 이유

풀이를 진행하면, 원래 식의 **형태(계수, 항의 관계)**가
다시 등장하게 돼요. 예를 들어:

* 특성방정식 (r^2 - 3r + 2 = 0)
  → 원래 식의 계수 (3, -2)가 그대로 나타남
* 일반해 (a_n = A + B \cdot 2^n)
  → 계수로부터 구한 근들이 지수로 들어감

즉, 점화식의 구조가 그대로 풀이의 언어로 옮겨지는 거예요.

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### 3 (a_n \to a^n)으로 바뀌는 이유

이건 단순한 기호 변화가 아니라, **선형 점화식의 해 구조**를 찾는 과정이에요.

* “앞 항에 일정한 비율로 곱해지는” 관계는 **지수형 함수**로 표현됩니다.
  [
  a_{n+1} = r a_n \Rightarrow a_n = a_0 r^n
  ]

* 더 일반적인 선형 점화식에서도,
  지수형 해를 가정하면 점화식이 단순한 다항방정식(특성방정식)으로 변하죠.
  [
  r^{n+2} = 3r^{n+1} - 2r^n \Rightarrow r^2 - 3r + 2 = 0
  ]
  여기서 얻은 (r)들이 실제 해의 지수로 들어갑니다.

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### 4 수학적 이유 — **선형성과 닫힘성**

* 선형 점화식은 “덧셈”과 “상수배”에 대해 닫혀 있음
  → 따라서 지수형 함수 (r^n)의 조합이 항상 다시 같은 형태의 식을 만족
* 비제차 항이 있으면, 그 항의 형태(예: 다항식, 상수, 지수 등)에 따라
  특수해도 같은 형태로 따라붙음 (이것이 구조 전이의 또 다른 모습)

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### 정리 문장

> “점화식의 해법에서 원래 식의 계수나 항이 그대로 나타나는 이유는,
> 점화식이 가진 **선형적·재귀적 구조**가 해의 형태를 결정하기 때문이다.
> 즉, 점화식의 구조가 풀이의 구조로 전이되는 것은 필연적이다.”

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원하시면 이걸 실제 **비제차 점화식** 예시(예: (a_{n+2} = 3a_{n+1} - 2a_n + n))로 확장해서,
지수항 + 다항항 형태로 어떻게 해가 구성되는지도 함께 정리해드릴까요?